不等式的证明的方法介绍

不等式的证明的方法介绍新疆奎屯市第一高级中学王新敞不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等.要明确分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围.若能够较灵活的运用常规方法(即通性通法)、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题.一、不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：BABA0.作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差.②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和.③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达.（4）反证法：正难则反.（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：aa12；nnn)1(；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn；④利用常用结论：kkkkk21111；kkkkk111)1(112；111)1(112kkkkk（程度大）)1111(21)1)(1(111122kkkkkk；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：已知222ayx，可设sin,cosayax；已知122yx，可设sin,cosryrx(10r)；已知12222byax，可设sin,cosbyax；已知12222byax，可设tan,secbyax；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.二、题型示例新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之.分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知)0,0(mabmbmaba.解：由题意得)0,0(mabmbmaba.证法一：（比较法）)()()()()(mbbabmmbbmbamabbambma.0,0mab，0,0mbab，bambmambbabm即0)()(.证法二：（放缩法）00mab且，mbmambmbaambbmbaba)()(.证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD.ADFABC∽，mbmaCEbmaCFbmaba.例2已知a，b∈R，且a+b=1.求证：2252222ba.证法一：（比较法）abbaRba1,1,,bammFEDCBA2222259224()22ababab2222911(1)4222()0222aaaaa即2252222ba（当且仅当21ba时，取等号）.证法二：（分析法）2258)(4225222222babaBa0)21(22584)1(1222aaaab因为显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）.证法四：（反证法）假设225)2()2(22ba，则2258)(422baba.由a+b=1，得ab1，于是有22512)1(22aa.所以0)21(2a，这与0212a矛盾.所以2252222ba.证法五：（放缩法）∵1ab∴左边＝222222222abab2125422ab＝右边.点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式22222baba.证法六：（均值换元法）∵1ab，所以可设ta21，tb21，∴左边＝22221122(2)(2)22abtt22255252522222ttt＝右边.当且仅当t=0时，等号成立.点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有1322)3()2(222aaaay，所以013222yaa，因为Ra，所以0)13(244y，即225y.故2252222ba.例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1.求证：812log)(logayxaaa.证明：（分析法）要证812log)(logayxaaa，10a，只要证：812aaayx，又222yxyxyxaaaaa，只需证：41aayx.∴只需证41yx，即证0412xx，此式显然成立.∴原不等式成立.例4设m等于a，b和1中最大的一个，当mx时，求证：22xbxa.分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于a，b和1中最大的一个”翻译为符号语言“am，bm，1m”，从而知amx.证明：（综合法）amx，,1xmbxm.222221.2abxxababxxxxxxxx.例5已知,abR，1ab，求证：221125()()2abab解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆∵1ab∴1=22222()22()abababab∴2212ab又∵22222222111111()()(2)28ababababab奎屯王新敞新疆∴2222221111()()()4()abababab1254822.用同样的思路可以推证关于三个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值问题：已知,,abcR，1abc，求证：222111100()()()3abcabc证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆∵1abc∴1=2222222()2223()abcabcabbccaabc∴22213abc又∵2233222222222111111111()()(3)327abcabcabcabcabc奎屯王新敞新疆∴222222222111111()()()()6()abcabcabcabc110062733∴222111100()()()3abcabc奎屯王新敞新疆猜想关于n个正数和为1时各数与其倒数和的平方和的最值如何？证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点.在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等.比较法是证明不等式最常用最基本的方法.分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题.含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件.有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度.