一曲线的参数方程

一曲线的参数方程第二讲参数方程如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究Av=100m/s如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究xyOAv=100m/s-500如图，一架救援飞机在离灾地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的底面(不计空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？问题探究MxyOAv=100m/s-5001.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数),(),(tgytfx1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数),(),(tgytfx并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个与物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.练习：指出下列参数方程中的参数1(1)12xtyt，；sincos(2)1sin2.xy，cos(3)sinxryrcos(4)sinxrtyrt例1.的位置关系；与曲线，判断点CMM)4,5()1,0()1(21.),6()2(3的值上，求在曲线已知点aCaM)(1232为参数的参数方程是已知曲线ttytxCcos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。2、参数方程和普通方程的互化将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系那么就是曲线的参数方程。tfxtgytgytfx例2、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数（2）把平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)11231)11xtyx解：因为所以普通方程是（x这是以（，）为端点的一条射线（包括端点）1xt所以代入ty21cossinxsin21yyx24sin2cossinx2,2x2,2xyx21.将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。练一练2.求参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，21）：（B）抛物线的一部分，这部分过（211，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，21）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，21）分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解∵x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。)42sin(2|2sin2cos|x∵，又02，0x2，故应选（B）说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例3(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。解（1）把带入椭圆方程，得到于是由参数的任意性，可取因此椭圆的参数方程为（为参数）1499cos22y3cosxsin2sin4cos14222yysin2y,sin2cos3yx思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？2222213,191449txtxtx因此椭圆的参数方程为,2132tytxtytx2132（t为参数）和（2）把ty2代入椭圆方程，得x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、曲线y=x2的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以练一练普通方程参数方程引入参数消去参数小结圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？3.圆的参数方程概念圆周运动是生活中常见的.当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动.那么，怎样刻画运动中点的位置呢？xyoM0Mr3.圆的参数方程概念如果在时刻t，点M转过的角度是，坐标是M(x,y)，那么＝t.设|OM|＝r，那么由三角函数定义有,sin,cosrytrxt即)(sincos为参数ttrytrxxyoM0Mr讲授新课)(sincos为参数ttrytrx这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数t有明确的物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻).讲授新课xyoM0Mr讲授新课考虑到＝t，也可以取为参数，于是有)(sincos为参数ryrxxyoM0Mr这也是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程.其中参数的几何意义是OM0绕点O旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.圆心是(a,b),半径是r的圆的参数方程是什么呢？cossinxarybr5-5-55v(a,b)oP(x,y)O1),(111yxP例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()练习.(1)(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()D练习.的圆心为_________，半径为______.)(sin2cos24)2(为参数yx练习.的圆心为_________，半径为______.(4,0))(sin2cos24)2(为参数yx练习.的圆心为_________，半径为______.(4,0))(sin2cos24)2(为参数yx2xMPAyO解:设M的坐标为(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ圆x2+y2=16的参数方程为例1.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?参数方程的应用(1)参数法求轨迹方程解:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例1.如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?例2.已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为sin2cos3yx由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).13∴x2+y2的最大值为14+2，最小值为14-2。1313（2）.参数法求最值(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）24∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。22(3)2)4sin(2421sin2cos3d显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。41222211.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点.(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．巩固练习变式训练3化参数方程x＝t＋1ty＝t－1t(t为参数)为普通方程，并求出该曲线上一点P，使它到y＝2x＋1的距离为最小，并求此最小距离．解：设圆的参数方程为x＝cosθy＝1＋sinθ.(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1，∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，∴－5＋1≤2x＋y≤5＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1，∴a≥2－1.解：化参数方程为普通方程为x2－y2＝4.设P(t＋1t，t－1t)，则点P到直线2x－y＋1＝0的距离d＝|t＋3t＋1|5.(1)当t0时，d≥23＋15.(2)当t0时，∵－t－3t≥23，∴t＋3t＋1≤－23＋1.∴|t＋3t＋1|≥23－1，∴d≥23－15.∵23＋1523－15，∴d的最小值为23－15，即215－55，此时点P的坐标为(－433，－233)．变式训练4求函数f(θ)＝sinθ－1cosθ－2的最大值和最小值.解：根据题意，作出如图所示的单位图．所要求的函数f(θ)＝sinθ－1cosθ－2的最大值与最小值，就转化为求动点P与定点(2,1)连线的斜率的最大值与最小值．从图可以得知，当直线PM和圆相切时，分别得到其最大值与最小值．设直线PM的斜率为k，所以，其方程为：y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.当直线PM与圆相切时，|OP|＝1，即|1－2k|－12＋k2＝1，解得k＝0或k＝43.所以，f(θ)min＝0，f(θ)max＝43.小结(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为);(.sin,cos为参数ryrx(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为).(.si