专题06函数的奇偶性与周期性-备战2015高考理数热点题型和提分秘籍(原卷版)

【高频考点解读】从近几年的高考试题来看，函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求很高，属中低档题.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.【热点题型】题型一函数奇偶性的判定例1、判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝lgx2＋lg1x2；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－x；(3)f(x)＝x2＋x，x0－x2＋x，x0；(4)f(x)＝－x2|x－2|－2.【提分秘籍】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.【热点题型】题型二函数奇偶性的应用(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()[来源:Z.xx.k.Com]A．－3B．－1C．1D．3(2)若函数f(x)＝xx＋x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1(3)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－2)＜f(2)的x的取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，2)C．(0,22)D．(2，＋∞)【提分秘籍】根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【举一反三】在本例(1)中的条件下，求f(x)在R上的解析式．【热点题型】题型三函数的周期性例3、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【提分秘籍】1．深化奇函数和偶函数的定义(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．在利用定义时，可应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔f－xfx＝±1(f(x)≠0)．4.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围上进行求解．【举一反三】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(2012)＋f(－2013)的值为()A．－2B．－1C．1D．2【热点题型】题型四利用奇偶性破解函数的最值例4、设函数f(x)＝x＋2＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.【提分秘籍】本题看似复杂，其实并不难，破解本题的关键就是把函数f(x)＝x＋2＋sinxx2＋1的解析式分解成1＋g(x)，其次利用奇函数的图象关于原点对称这一性质得出g(x)max＋g(x)min＝0，突出转化思想，问题得到圆满解决．【举一反三】已知y＝f(x)是奇函数．若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.【高考风向标】1．（2014·福建卷）已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)2．（2014·湖南卷）已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．（2014·新课标全国卷Ⅰ）设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数4．（2014·新课标全国卷Ⅱ）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．5．[2013·广东卷]定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()[来源:Zxxk.Com]A．4B．3C．2D．16．（2013·江苏卷）已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．7．（2013·山东卷）已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．28．（2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)5的解集是________．【随堂巩固】1．满足f(π＋x)＝－f(x)且为奇函数的函数f(x)可能是()[来源:Z&xx&k.Com]A．cos2xB．sinx[来源:Zxxk.Com]C．sinx2D．cosx2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．若函数f(x)＝ax＋1x(a∈R)，则下列结论正确的是()A．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，函数f(x)为奇函数D．∃a∈R，函数f(x)为偶函数4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A．y＝ln1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cosx[来源:学+科+网Z+X+X+K]5．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞06．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数7.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1[来源:学.科.网Z.X.X.K]B．y＝|x|＋1C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0D．y＝ex，x≥0e－x，x＜0[来源:Z*xx*k.Com]8．f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称9．若函数f(x)＝2x＋2－x与g(x)＝2x－2－x的定义域为R，则()A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数10．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A．－12B．－14C.14D.1211．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．[来源:学科网]12．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.13．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋3)·f(x)＝－1，f(－1)＝2，则f(2011)＝________.14．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2－1＋1－x2；(2)f(x)＝x2－2x＋3x，x＝，－x2－2x－x15．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x00，x＝0x2＋mxx0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．16．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．②当x0时，f(x)0.(1)求证：f(0)＝0；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)判断函数f(x)的单调性．