专题1：基本初等函数

南京市**学校2014届高三二轮专题复习专题1：基本初等函数（两课时）班级姓名一、前测训练1．已知函数f(x)＝x＋1，x≥1，－x2＋4，x＜1，①若f(x)≥2，则x的取值范围为．②f(x)在区间[－1，3]的值域为．答案：①[－2，＋∞)；②[2，4].2．①若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝．②已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝．③已知函数满足2f(x)＋f(1x)＝x，则f(2)＝；f(x)＝．答案：①x－1(x≥1)；②2x＋3或－2x－9；③76，23x－13x．3．①若二次不等式f(x)＜0的解集为(1，2)，且函数y＝f(x)的图象过点(－1，2)，则f(x)＝．②已知f(x)＝－x2＋2x－2，x∈[t，t＋1]，若f(x)的最小值为h(t)，则h(t)＝．答案：①13x2－x＋23；②－t2＋2t－2，t＜12－t2－1，t≥12．4．①已知2x2＋x≤(14)x－2，则函数y＝(3)x2＋2x的值域为．②设loga13＜2，则实数a的取值范围为．答案：①[33，81]；②(0，33)∪(1，＋∞).5．①lg25＋lg2lg50＝．②已知函数y＝log12(x2－2x＋2)，则它的值域为．③已知函数y＝log12(2－ax)在区间[0，1]上为单调递减，则实数a的取值范围为．答案：①1；②(－∞，0]；③(－∞，0).6．①函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为．②函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1)，k∈N，则k＝．答案：①3；②1.二、方法联想1．分段函数方法1：分段函数，分类处理；方法2：分段函数整体处理．2．解析式求法方法1换元法、配凑法；方法2待定系数法；方法3方程组法．3．二次函数二次函数解析式求法一般设为三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；(3)零点南京市**学校2014届高三二轮专题复习式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．二次函数最值求法求二次函数最值，考虑对称轴与区间的相对位置关系，即左、中偏左、中偏右、右，再根据具体问题对四种情况进行合并(或取舍)．4．指数函数(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底．(2)与指数函数有关的值域问题，方法一：复合函数法，转化为利用指数函数的单调性；方法二：换元法．5．对数函数(1)对数式化简可利用公式logambn＝nmlogab将底数和真数均化成最简形式．(2)对数方程与不等式问题关键是两边化同底．6．零点问题方法1数形结合法；方法2连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立．二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上存在唯一一个零点．三、例题分析第一层次例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.解：（1）实数x的取值范围为[2，3).（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.南京市**学校2014届高三二轮专题复习例2.已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋30(a∈R)的定义域为R，求关于x的方程xa＋3＝|a－1|＋1的根的取值范围.解：取值范围为[94，18].〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：方法:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．2．分段函数的值域：方法：①利用函数的图象，求值域．②分别求每个区间的值域，再求并集．(2)方法选择与优化建议：对于问题2，学生一般会选择方法②，在解答题中，需要解题过程，所以选择方法②．本题的易错点是最后求得的x的取值范围应该两段函数的值域的并集.例3.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．同理，当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5－a2b，＋∞)；当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1.5－a2b).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.南京市**学校2014届高三二轮专题复习第二层次例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.解：（1）实数x的取值范围为[2，3).（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.例2.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5－a2b，＋∞)；当a＞0，b＜0时，x的取值范围为(－∞，log1.5－a2b).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．讨论函数的单调性问题：方法:①利用函数的图象；②复合函数的单调性；③利用函数单调性的定义．④利用导函数来求函数的单调区间．南京市**学校2014届高三二轮专题复习2．与指(对)数有关的解不等式问题：方法：①利用函数的单调性，转化为代数不等式．②用换元法，依次解几个代数不等式．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法③或④，因为本题不仅要求判断还需要证明结论，方法①②不能用作证明，所以选择方法③或④．对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题函数的单调性比较明确，便于转化，所以选择方法①．本题的易错点是第二问中忽视字母a的符号对不等号的方向的影响.本题中的分类讨论是由数学运算的要求而引起的，“ab＞0”和“ab＜0”的含义是字母a、b同号或异号，因此需要具体到a、b各自的符号.例3.设命题p：函数f(x)＝1ax2－ax＋1的定义域为R；命题q：不等式3x－9x＜a－1对一切正实数x均成立.（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围.解：（1）实数a的取值范围为[0，4).（2）实数a的取值范围为[1，4).〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．已知函数的定义域，求参数的范围：方法:与求函数的定义域的处理方法一致，将问题转化为已知不等式的解集，再利用对应方程的根已知，求参数的范围．2．不等式恒成立问题：方法：①分离变量转化为求函数的最值．②直接求函数的最值，再解不等式；③利用函数的图象，观察临界情况，再进行相应的计算．3．复合命题的真假判断：方法：转化为判断构成复合命题的简单命题的真假，再根据逻辑联结词，来判断．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，因为它是二次不等式对于任意实数恒成立，只需研究判定式及二次项系数的符号即可；对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题分离变量较容易，而且对应函数的值域比较容易求，所以选择方法①．在考查命题p是真命题时，容易漏掉a＝0的情况，另外容易出现因为忽视“ax2－ax＋1”出现的位置，在限制条件中将“△＞0”错写为“△≥0”.第三层次例1.已知函数f(x)＝loga(8－2x)(a＞0，且a≠1).（1）当a＝2时，求满足不等式f(x)≤2的实数x的取值范围；（2）当a＞1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值.解：（1）实数x的取值范围为[2，3).南京市**学校2014届高三二轮专题复习（2）函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值为loga49.〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．解指(对)数不等式问题：方法:①利用指(对)数函数的单调性，将不等式转化为代数不等式来解．②换元法：转化为代数不等式．2．与指(对)数有关的函数值域：方法：①考察对应函数(复合函数)的单调性，利用单调性处理．②用换元法，转化为几个基本函数的值域问题．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法①，因为本题既含对数，也含有指数，用换元不能一次转化为代数不等式，所以选择方法①．对于问题2，学生一般会选择方法②，因为用换元法转化为几个基本函数的值域，处理比较方便，所以选择方法①．指数函数、对数函数的单调性受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是单调性有关的问题时，首先要看底数的范围.本题的易错点有两个，一是第一问中的“8－2x＞0”的定义域部分；二是第二问中函数y＝f(x)＋f(－x)的定义域.例2.已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；（2）若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f(x)在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，函数f(x)在R上是减函数．（2）当a＜0，b＞0时，x的取值范围为(log1.5