专题4.二项式定理

1§10.3二项式定理(教师版)1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)．这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Crnan－rbr叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，通项是展开式的第r＋1项，即Tr＋1＝Crnan－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)．2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn.(2)增减性与最大值：二项式系数Crn，当rn＋12时，二项式系数是递增的；当rn＋12时，二项式系数是递减的．当n是偶数时，那么其展开式中间一项T12n的二项式系数最大．当n是奇数时，那么其展开式中间两项T21n和T121n的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Crnan－rbr是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10答案B解析Tr＋1＝Crnan－rbr＝Cr515－r(2x)r＝Cr5×2r×xr，令r＝2，则可得含x2项的系数为C25×22＝40.3．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．28答案B解析由题意有n＝8，Tr＋1＝Cr8(12)8－r(－1)rxr348，r＝6时为常数项，常数项为7.4．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn等于()A．63B．64C．31D．32答案A解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋Cnn＝26－C0n＝64－1＝63.故选A.5．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.答案0解析a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，所以a10＋a11＝C1021－C1121＝0.题型一求二项展开式的指定项或指定项系数2例1已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．思维启迪先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项．解(1)通项公式为Tr＋1＝Crnx3rn－12rx3r＝Crn－12rx32rn.因为第6项为常数项，所以r＝5时，n－2×53＝0，即n＝10.(2)令10－2r3＝2，得r＝2，故含x2的项的系数是C210－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得10－2r3∈Z0≤r≤10r∈N，令10－2r3＝m(m∈Z)，则10－2r＝3m，r＝5－32m，∵r∈N，∴m应为偶数．∴m可取2,0，－2，即r可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210－122x2，C510－125，C810－128x－2.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．(1)(2013·江西)x2－2x35展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40(2)(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40B．－20C．20D．40答案(1)C(2)D解析(1)Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－2x3r＝Cr5(－2)rx10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C25(－2)2＝40.(2)令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此(x＋1x)(2x－1x)5展开式中的常数项即为(2x－1x)5展开式中1x的系数与x的系数的和．(2x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(2x)5－r·(－1)r·x－r＝Cr525－rx5－2r·(－1)r.令5－2r＝1，得2r＝4，即r＝2，因此(2x－1x)5展开式中x的系数为C2525－2(－1)2＝80.令5－2r＝－1，得2r＝6，即r＝3，因此(2x－1x)5展开式中1x的系数为C3525－3·(－1)3＝－40.所以(x＋1x)(2x－1x)5展开式中的常数项为80－40＝40.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例2在(2x－3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．思维启迪求二项式系数的和或各项系数的和的问题，常用赋值法求解．解设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210.(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29，偶数项的二项式系数和为C110＋C310＋…＋C910＝29.(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，3∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102.(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－5102；x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋5102.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和．解(1)由已知得C1m＋2C1n＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C2m＋22C2n＝mm－12＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)11－m2－1＝m－2142＋35116.∵m∈N＋，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位)思维启迪(1)将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可．解(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cn－2n52＋Cn－1n5＋Cnn)＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋Cn－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C08＋C18·0.02＋C28·0.022＋C38·0.023≈1.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)(2012·湖北)设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a等于()A．0B．1C．11D．12(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数为________．答案(1)D(2)7解析(1)512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012522012－C12012522011＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C20122012×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.(2)S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例：(12分)已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求在2x－1x2n的展开式中，4(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．易错分析本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别．规范解答解由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.[2分](1)由二项式系数的性质知，2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C510＝252.∴二项式系数最大的项为T6＝C510(2x)5－1x5＝－8064.[6分](2)设第k＋1项的系数的绝对值最大，∴Tk＋1＝Ck10·(2x)10－k·－1xk＝(－1)kCk10·210－k·x10－2k，∴Ck10·210－k≥Ck－110·210－k＋1，Ck10·210－k≥Ck＋110·210－k－1，得Ck10≥2Ck－1102Ck10≥Ck＋110，即