专题一(二阶常微分方程解法)

二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程型为常数；型，为常数，]sin)(cos)([)()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是ypyqyfx()（1）其中pq,是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程0qyypy（2）的通解Y和方程（1）的一个特解*y之和。即*yYy.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解*y的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的)(xf为如下两种常见形式时求其特解*y的方法。一、fxePxxm()()型由于方程（1）右端函数fx()是指数函数ex与m次多项式Pxm()的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为yeQxx()(Qx()是某个次数待定的多项式)yeQxeQxxx()()yeQxQxQxx[()()()]22代入方程（1），得eQxpQxpqQxePxxxm[()()()()()]()22消去ex，得QxpQxpqQxPxm()()()()()()22（3）讨论01、如果不是特征方程rprq20的根。即02qp由于Pxm()是一个m次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Qx()必为一个m次多项式，设为Qxbxbxbxbmmmmm()0111将之代入（3），比较恒等式两端x的同次幂的系数，就得到以bbbbmm011,,,,为未知数的m1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m1个待定的系数，并得到特解yeQxxm()02、如果是特征方程rprq20的单根。即20pq，但20p欲使（3）式的两端恒等，那么Qx()必是一个m次多项式。因此，可令QxxQxm()()并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,,,,。03、如果是特征方程rprq20的二重根。即20pq，且20p。欲使（3）式的两端恒等，那么Qx()必是一个m次多项式因此，可令QxxQxm()()2并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,,,,。综上所述，我们有结论如果fxePxxm()()，则方程（1）的特解形式为yxQxekmx()其中Qxm()是与Pxm()同次的多项式，k的取值应满足条件k012不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根例1求yyyxex562的通解。解特征方程为0652rr特征根为3,221rr齐次方程的通解为xxeCeCY3221因为2是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为yxbxbex()012则*y[()]222020112bxbbxbex*y[()]484240201012bxbbxbbex将上述三式代入原方程，得()2200122bxbbexexx，比较恒等式两端的系数，得2120001bbb解得210b，11b因此xexxy2)121(*所以方程的通解为ycecexxexxx12232121()二、fxePxxPxxxln()[()cos()sin]型由于方程（1）右端函数为xxpxxpenlxsin)(cos)(，这种形式得到非齐次方程的特解*y的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论yxeRxxRxxkxmm[()cos()sin]()()12其中，Rxm()()1、Rxm()()2是两个m次多项式，mlnmax{,}，且是特征方程的根若不是特征方程的根若iik10例2求方程yyxxcos2的通解。解特征方程r210特征根ir2,1齐次方程的通解为xCxCYsincos21这里1,2,0m，由于ii2不是特征方程的根，所以设方程的特解为yaxbxcxdx()cos()sin22代入原方程，得xxxadCxxCbax2cos2sin)433(2cos)433(比较两端同类项的系数，得0430304313adCCba解得94,0,0,31dCba于是yxxx132492cossin所以非齐次方程的通解为ycxcxxxx12132492cossincossin