一类广义的MHD方程强解的全局存在性

1一类广义的MHD方程的强解的全局存在性包忠欢段礼鹏*钮维生摘要：本文主要讨论了一类广义的三维MHD方程强解的全局存在性问题,运用Garlekin逼近方法和较为细致的正则性估计,我们证明了当初值Vbu00,时,外力项Hf时,上述广义的三维方程强解的全局存在性关键词：广义的方程,强解,全局存在性中图分类：0175.2文献标码:A1.引言设是一个带有光滑边界的有界区域,我们考虑以下的广义的MHD方程这里常数00，分别为粘性系数和耗散系数,f是外力项,表示压力,u表示速度场b表示磁场,显然当()1NFu‖‖时,即为经典的MHD方程.作为磁流体力学问题中的经典模型,在过去的几十年里,MHD方程吸引了许多著名的数学家的关注和兴趣.人们对其解的存在唯一性问题进行了深入和广泛地研究,参见[1,2].同经典的Navier-Stokes方程一样,二维的MHD方程存在着全局弱解和强解,但是三维MHD方程解的全局存在性问题仍然是悬而未决的公开数学难题,对于经典Navier-Stokes方程而言,其强解的全局存在性问题似乎在短期内难以解决.鉴于此,人们考虑了各种正则化的Navier-Stoke方程,如StokesNavier方程[4],Leray方程[5],等.特别Caraballo与Kloden等引入了一类广义的Navier-Stokes方程,并证明了三维情形下上述方程强解的全局存在性参见[9],.众所周知,MHD方程和Navier-Stokes方程在解的存在性,适定性等方面有很多相似性.在[7,8,9]中,作者分别考虑了与文献[4,5,6]中几类正则化的Navier-Stokes方程相对应的几类正则化的MHD方程,并将关于正则化的Navier-Stokes方程的研究结果推广到了相应的MHD方程.受上述工作的启发,本文中我们引入一类广义的MHD方程(1.1)并运用Garlekin逼近法证明了三维情形下广义MHD方程强解的全局存在性.再给出具体结果及证明之前,我们首先给出一些预备知识.记3{(()):div0},cuCuV)1.1()2.1(200()()()in,2()()0,indiv0,div0in,0,0on,(0,),(0,)in,tNtNbuuFuuubbfbbFuubbuububuxubxb‖‖‖‖0()in,div0,in,0,on,(0,)in,tNuuFuuufuuuxu‖‖2令H是V在23(())L中的完备化,这里中的内积和范数分别为(,),||,其中3231(,)()(),,(()).jjjuvuxvxdxuvL令V是V在130(())H中的完备化,这里中的内积和范数分别为((,)),‖‖,其中3130,1((,)),,(()).iiijjjdudvuvdxuvHdxdx令'V为V的对偶空间,'H为H的对偶空间,易知''VHHV定义3*,1(,,).iijijjdvbuvwuwdxdx0C本文中为常数,A代表Stokes算子[10].2强解的全局存在性本文的主要结果如下定理1.假设00,uVbV并且对任意给定的2230,(0,;()),TfLTL,若2,0,;()0,;,ubLTDALTV则方程(1.1)存在唯一的强解.证明：考虑方程(1.1)的Garlekin逼近方程00,0,(0),(0),mmNmmmNmmmmmmNmmmNmmmmmmmduuFuuuFubbPfdtdbbFuubFubudtuPubPb有关Garlekin逼近的细节问题请参考[10],我们分别用mmbu,与方程(2.2)作内积可以得22*22*1||()(,,)(,),21||()(,,)0.2mmNmmmmmmmmNmmmmduuFubbbuPfudtdbbFubbubdt‖‖‖‖‖‖‖‖上面中两式相加可得)2.2(3中有界在);,0();,0(}{},{2VTLHTLbumm2222221||||22||2(,)2||||mmmmmmmmddububdtdtfPfufuu‖‖‖‖‖‖这里1是Stokes算子A的最小特征值.从而222221||||||2.mmmmddfububdtdt‖‖‖‖上式两边分别关于t从0到T积分,可得22220022201||||2|||(0)||(0)|TTmmmmTmmubudsbdsfdsub‖‖‖‖由于00|(0)|||,|(0)|||mmuubb,故有由LionsAubin紧定理,可知存在2,(0,;)(0,;)ubLTHLTV使得在选取适当的子列的意义下,(0,;),mmubLTHub中分别弱*收到在敛2,(0,;),mmubLTVub中分别弱收敛到在但是{},{}mmub在上述意义下的收敛并不能保证NmN,F(u)F(u).muu‖‖‖‖或者‖‖‖‖为了保证能有上述收敛,我们需要做更强的估计,这里用,mmAuAb与方程(2.2)作内积可得这里我们容易得到以下结果将(2.3)式的两个方程相加并结合(2.4)式我们得到********(,,)(,,)(,,),(,,)(,,)(,,),(,,)(,,).mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmbbbAubbbubbbubbuAbbubbbbubbubAbbubb)3.2()4.2(22**22**1||()(,,)()(,,)(,),21||()(,,)()(,,)0,2mmNmmmmNmmmmmmmmNmmmmNmmmmduAuFubuuAuFubbbAuPfAudtdbAbFububAbFubbbAbdt‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖42222****11||||()(,,)22()[(,,)(,,)(,,)](,).mmmmNmmmmNmmmmmmmmmmmmddubAuAbFubuuAudtdtFubbbububbbubbPfAu‖‖‖‖‖‖‖‖这里我们令*1()(,,),NmmmmIFubuuAu‖‖**2()[(,,)(,,)(,,)].NmmmmmmmmmmIFubbbububbbubb‖‖首先得到关于(,)mmPfAu的估计22|(,)|||||.4mmmPfAuAuCf其次可以得到关于1I估计33221132222||||||||.4mmmmmmmNICuAuuCuAuAuCu‖‖‖‖‖‖‖‖同样可以得到关于2I估计**2132222||[|(,,)|(,,)|(,,)|](||)||.2mmmmmmmmmmmmmmmmNIbbbububbbubbuNCbAbuuAbCb‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖由此,我们可以得到2222222||||(||).mmmmmmddubAuAbCfubdtdt‖‖‖‖‖‖‖‖对上述不等式关于变量t从0到T作积分,可以得到222200(0,)222220sup()||||(0)(0)||.TTmmtTTmmmmubAudsAbdsubCfubds‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖这里00(0),(0)mmuubb‖‖‖‖‖‖‖‖,从而我们可以得到2{},{}(0,;V)(0,;D(A))mmubLTLT在中有界5进一步可以验证{}mdudt在2(0,;)LTH中有界,这里需验证在2(0,;)LTH中有界,实际上对任意的,wH*()|(,)|()|(,,)||||.|NmmmNmmmmFuuuwFubuuwNCAuw‖‖‖‖由于{}mu在2(0,;())LTDA中有界.故2{()}(0,;)NmmmFuuuLTH‖‖在中有界容易验证{},{}mmAuPf在2(0,;)LTH中也是有界的,所以我们有{}mdudt在2(0,;)LTH中有界.类似的可得{}mdbdt在2(0,;)LTH中有界.由LionsAubin紧定理[3],可知存在2,(0,;)(0,;())ubLTVLTDA使得在选取适当子列的意义下,(0,;),mmubLTVub中分别弱*收到在敛2,(0,;),mmdudbdudbLTHdtdtdtdt中分别弱收敛到在2,(0,;),mmubLTVub中分别强收敛到在根据(2.5)我们对投影方程(2.2)取极限,关于非线性项收敛的证明完全类似于[9],这里省略不证.从而可以得到u,b是方程(1.1)满足定义(2.1)的强解,故定理可证.参考文献:[1]O.A.Ladyzhenskaya,V.Solonnikov,Solutionofsomenonstationarymagnetohydrodynamicalproblemsforincompressiblefluid[J].TrudyofSteklovMath.Inst.1960,69:115-173.[2]M.Sermange,R.Temam,SomemathematicalquestionsrelatedtotheMHDequations[J].Comm.PureAppl.Math.1983,36:635-664.[3]S.Chen,C.Foias,D.D.Holm,E.Olson,E.S.Titi,S.Wynne,Camassa-Holmequationsasclosuremodelforturbulentchannelandpipeflow[J].Phys.Rev.Lett.1998,81(24):5338-5341.[4]A.Cheskidov,D.D.Holm,E.Olson,E.S.Titi,OnaLeray--modelofturbulence[J].R.Soc.A,Math.phys,Eng.Sci.2005,461:629-649.[5]V.K.Kalantarov,E.S.Titi,Globalattractoranddeterminingmodesforthe3DNavier-Stokes-Voightequations.Chin.Ann.Math.2009,B30(6):697-714.[6]J.S.Linshiz,E.S.Titi,Analyticalstudyofcertainmagnetohydrodynamic--models[J],J.Math.Phys.2007,48(065504),28pages.[7]M.Holst,E.Lunasin,G.Tsogtgerel,AnalysisofaGeneralFamilyofRegularizedNavier-StokesandMHDModels[J],JNonlinearSci.2010,20:523-567.[8]D.Catania,P.Secchi,Globalexistenceandfinitedimensionalglobalattractorfora3DdoubleviscousMHDmodel,Commun.Math.Sci.(2010),8(4):[19]T.Caraballo,P.E.Kloeden,J.Real,UniquestrongsolutionsandV-attractorsofathree-dimensionalsystemof5.2{()},{()}NmmmNmmmFuuuFubb‖‖‖‖2,(0,;()),mmubLTDAub中分别弱收敛到在6globallymodifiedNavier-Stokesequati