专题一函数的三要素

《概念、方法、题型、易误点总结》专题一：函数的三要素【基础知识1】(1)映射与函数概念;(集合A中的每一个元素在集合B中有唯一的元素和它对应;每一个x都有唯一的y和它对应.)(2)理解函数三要素:解析式,定义域,值域.【题型1】函数解析式及复合函数类解析式求法（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如：已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式。（答：21()212fxxx）练：1、已知二次函数()hx与x轴的两交点为(2,0)，(3,0)，且(0)3h，求()hx2、设)(xf是一元二次函数,)(2)(xfxgx,且212)()1(xxgxgx,求)(xf与)(xg.（2）换元法――已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值范围。如：1、已知xxxf2)1(，求)1(xf2、已知f（xx11）＝2211xx，则f（x）的解析式可取为（）A.21xxB.－212xxC.212xxD.－21xx练习：1、已知1()1xfxx,求()yfx.2、已知2(1)lgfxx,求()yfx.(2()lg(1)1fxxx)（3）代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式如（1）已知,sin)cos1(2xxf求2xf的解析式（答：242()2,[2,2]fxxxx）；（2）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____（答：223xx）；（3）已知f（x＋1）＝x＋2x，求f(x)的解析式.练习：1、若f（sinx）＝2－cos2x，则f（cosx）等于（）A.2－sin2xB.2＋sin2xC.2－cos2xD.2＋cos2x2、222133()xxxhxx，求()hx.《概念、方法、题型、易误点总结》3、已知f（x＋x1）＝x3＋31x，求f(x)的解析式;（4）消去法：已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。如：1.设函数)(xf是定义(－∞,0)∪(0,+∞)在上的函数,且满足关系式xxfxf4)1(2)(3,求)(xf的解析式.2、若定义在R上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()xfxgxe,则()gx=.练习：1、已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式2、已知()fx是奇函数，()gx是偶函数，且1()()1fxgxx，求()fx、()gx.（5）其他方法（性质、图像、相关点、递推等）：如：1、设)(xf是偶函数,当x＞0时,xexexf2)(,求当x＜0时，)(xf的表达式.2、对x∈R,)(xf满足)1()(xfxf,且当x∈[－1,0]时,xxxf2)(2求当x∈[9,10]时)(xf的表达式.3、已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式练习：1、已知定义在R上的偶函数)(xf，当0x时，xxxf2)(2，求)(xf解析式。2、已知函数12)(xxf，当点P(x，y)在y=)(xf的图象上运动时，点Q(3,2xy)在y=g(x)的图象上，求函数g(x).3、已知)(xf是定义域为R周期为2的函数，对Zk，用kI表示区间]12,12(kk，当0Ix时3)(xxf，试求当kIx时)(xf解析式。《概念、方法、题型、易误点总结》【题型2】函数及复合函数定义域求法(整体化思想)（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A,最大角3，最小角3等。如（1）函数24lg3xxyx的定义域是___；练习:1、函数2ln(1)34xyxx的定义域为.2.函数021xyx的定义域为.3.函数的定义域为．（2）复合函数的定义域：若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。如（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（答：42|xx）；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________（答：[1,5]）．练习：1.函数(2)xyf的定义域[1,1],则函数2(log)xyf的定义域是(C)A.[1,1]B.1[,2]2C.[2,4]D.[1,4]2.函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________【题型3】函数值域求法（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]yxxx的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是___（答：21a）；（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（答：17[4,]8）；《概念、方法、题型、易误点总结》（2）211yxx的值域为_____（答：(3,)）（3）sincossincosyxxxx的值域为____（答：1[1,2]2）；（4）249yxx的值域为____（答：[1,324]）；（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如;1.求函数2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域（答：1(,]2、（0,1）、3(,]2）；（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)yxxx，532log1xyx的值域为______（答：80(0,)9、[2,10]）；（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围（答：33[,]33、[5,5]）；（2）求函数22(2)(8)yxx的值域（答：[10,)）；(3)求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域（答：[43,)、(26,26)）(4)求函数2sin11cosy的值域（6）判别式法如：1、求函数122xxxxy的值域2.22xmxnyxmxn型，通常用判别式法；如已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为[0，2]，求常数,mn的值（答：5mn）