专题一第六讲数学思想方法与答题模板建构

(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U，集合A，B如图所示，则(∁UA)∩B＝()A．{5,6}B．{3,5,6}C．{3}D．{0,4,5,6,7,8}解析：由图可知，U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，∴∁UA＝{0,4,5,6,7,8)，(∁UA)∩B＝{5,6}．答案：A2．(2011·江西高考)若f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为()A．(－12，0)B．(－12，0]C．(－12，＋∞)D．(0，＋∞)解析：根据题意得log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－12，0)．答案：A3．下列命题中是假命题的是()A．∀x∈0，π2，xsinxB．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C．∀x∈R,3x0D．∃x0∈R，lgx0＝0解析：选项A、C、D都是真命题．对于B选项，由于sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，故不存在x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝2，即B选项为假命题．答案：B4．已知全集U＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)0}，则M∩∁UN＝()A．[32，2]B．[32，2)C．(32，2]D．(32，2)解析：由f(x)≤0解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；f′(x)0，即2x－30，解得x32，故N＝(－∞，32)，∁UN＝[32，＋∞)．故M∩∁UN＝[32，2]．答案：A5．(2011·陕西高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是()解析：代数表达式“f(x)＝f(－x)”，说明函数是偶函数，代数表达式“f(x＋2)＝f(x)”，说明函数的周期是2，再结合选项图像不难看出正确选项为B.答案：B6．(2011·山西高考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：函数y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，说明对任意x恒有|f(－x)|＝|f(x)|，由此得f(－x)＝－f(x)或者f(－x)＝f(x)，此时说明y＝f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，条件不充分；而当f(x)是奇函数时，|f(－x)|＝|－f(x)|对于任意x恒成立，即函数y＝|f(x)|的图像关于y轴对称，故条件是必要的．答案：B7．若M＝a2＋4a(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为()A．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]C．[4，＋∞)D．[－4,4]解析：∵M＝a2＋4a＝a＋4a，∴当a0时，M≥2a·4a＝4，当a0时，M＝－[(－a)＋(－4a)]≤－2a·4a＝－4，则M的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：A8．若ba0，则下列不等式中正确的是()A.1a1bB．|a||b|C.ba＋ab2D．a＋bab解析：∵ba0，∴1a1b0,0|a||b|，a＋b0ab，ba＋ab2ba×ab＝2.答案：C9．如图所示，已知四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1，2y)作用下的象集为四边形A1B1C1D1，若四边形A1B1C1D1的面积是12，则四边形ABCD的面积是()A．9B．6C．63D．12解析：由于四边形ABCD在映射f：(x，y)→(x＋1,2y)作用下的象集仍为四边形A1B1C1D1，只是将原图像上各点的横坐标向右平移了一个单位，纵坐标伸长为原来的2倍，故所求面积是原来的2倍，故选B.答案：B10．(2011·陕西高考)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根解析：求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图像易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．答案：C11．(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9解析：函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤(a＋b2)2＝(62)2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．答案：D12．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则()A．abcB．cbaC．cabD．bca解析：据已知可得出x1时，f′(x)0，即函数在区间(－∞，1)上递增，又由f(x)＝f(2－x)可得函数的图像关于直线x＝1对称，故f(3)＝f(－1)，又由于1120－1，由单调性可得f12f(0)f(－1)，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)13．[理](2011·陕西高考)设f(x)＝lgx，x＞0，x＋0a3t2dt，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝________.解析：显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋0a3t2dt＝t3|a0＝1，得a＝1.答案：1[文]已知点(2，2)在幂函数y＝f(x)的图像上，点(－2，12)在幂函数y＝g(x)的图像上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析：由题意，设y＝f(x)＝xα，则2＝(2)α，α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则12＝(－2)β，β＝－2，因为f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案：1或－114．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，即a－1＝－2a.∴a＝13.∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴b＝0.∴f(x)＝13x2＋1，x∈[－23，23]，其值域为{y|1≤y≤3127}．答案：{y|1≤y≤3127}15．设x，y，z满足约束条件x＋y＋z＝1，0≤x≤1，0≤y≤2，3x＋z≥2，则t＝3x＋6y＋4z的最大值为_____．解析：∵z＝1－x－y，∴约束条件变为0≤x≤1，0≤y≤2，2x－y≥1，作出可行域如图，目标函数t＝3x＋6y＋4z＝－x＋2y＋4的几何意义与斜率为12的直线的纵截距有关，由图可知过点A(1,1)时取得最大值为5.答案：516．已知函数f(x)＝sinx－13x，x∈[0，π]，cosx0＝13(x0∈[0，π])，那么下面命题中真命题的序号是______．①f(x)的最大值为f(x0)；②f(x)的最小值为f(x0)；③f(x)在[0，x0]上是减函数；④f(x)在[x0，π]上是减函数．解析：由于f′(x)＝cosx－13，当x∈[0，π]时，若有cosx0＝13，由于y＝cosx在x∈[0，π]上为减函数，故有x∈[0，x0]时，f′(x)0，当x∈[x0，π]时，f′(x)0，即函数的最大值为f(x0)，且函数在区间[x0，π]上为减函数，故①④命题为真．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)0的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．解：(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，∴a0.∴f(x)0，即ax2＋x0的解集A＝(－1a，0)．(2)化简B得B＝(－a－4，a－4)，∵B⊆A，∴－1a≤－a－4，0≥a－4，a0，解得0a≤5－2.即a的取值范围为(0，5－2]．18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝log2(ax－bx)且f(1)＝1，f(2)＝log212.(1)求a、b的值；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．解：(1)由已知得log2a－b＝1，log2a2－b2＝log212.所以a－b＝2，a2－b2＝12.解得a＝4，b＝2.(2)f(x)＝log2(4x－2x)＝log2[(2x－12)2－14]，令u(x)＝(2x－12)2－14.由复合函数的单调性知u(x)在[1,2]上为增函数，所以u(x)max＝(22－12)2－14＝12，所以f(x)的最大值为log212＝2＋log23.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋1x＋2的图像关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间[0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)的图像与h(x)的图像关于A(0,1)对称，设f(x)图像上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点为B′(x′，y′)，则x′＋x2＝0，y′＋y2＝1，∴x′＝－x，y′＝2－y.∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋1x′＋2.∴2－y＝－x－1x＋2.∴y＝x＋1x.即f(x)＝x＋1x.(2)g(x)＝x2＋ax＋1，∵g(x)在[0,2]上为减函数，∴－a2≥2，即a≤－4.∴a的取值范围为(－∞，－4]．20．(本小题满分12分)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．解：(1)设日销量q＝kex，则ke30＝100.∴k＝100e30.∴日销量q＝100e30ex.∴y＝100e30x－20－tex(25≤x≤40)．(2)当t＝5时，y＝100e30x－25ex，y′＝100e3026－xex，由y′≥0，得x≤26，由y′≤0，得x≥26，∴y在区间[25,26]上单调递增，在区间[26,40]上单调递减．∴当x＝26时，ymax＝100e4.∴当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．21．(本小题满分12分)[理]已知函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)函数f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)的定义域是(1，＋∞)．当a＝1时，f′(x)＝2x－1－1x－1＝2xx－32x－1，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝32.当x∈(1，32)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(32，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的最小值为f(32)＝34＋ln2.(2)f′(x)＝2x－a－ax－1＝2xx－a＋22x－1，当a≤0时，则有a＋22≤1，故f′(x)0在(1，＋∞)上恒成立，所以f(x)的增区间为(1，＋∞)．当a0时，则有a＋221，故当x∈(