专题一统计量及抽样的分布

专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布最高分数分布最低分数分布平均分数分布样本的分布21样本矩21合计4/1000/1002/100II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,xn称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,xn满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,xn相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,xn为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,xn）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,xn为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值.（5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101：针对该题提问]答案：D[答疑编号918020102：针对该题提问]答案：[答疑编号918020103：针对该题提问]答案：B[答疑编号918020104：针对该题提问]答案：1[答疑编号918020105：针对该题提问]答案：B[答疑编号918020106：针对该题提问]解析：故填20.[答疑编号918020107：针对该题提问]答案：n解析：[答疑编号918020108：针对该题提问]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。本题，已知X1、X2、X3、X4为来自总体X～N（0，1）的样本，所以X1、X2、X3、X4相互独立且服从同分布N（0，1），则X1+X2～N（0，2），X3+X4～N（0，2）；从而，,则下列选项中正确的是（）[答疑编号918020109：针对该题提问]答案：A解析：本题考察课本p140，4.一些重要结论。记忆内容。专题二参数估计I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布最高分数分布最低分数分布平均分数分布点估价2,262评价标准2区间估计106合计14/1006/10010/100II.内容总结一、参数的点估计1.概念：（1）参数：①分布中所含有未知参数θ（θ可以是向量）；②分布中所含有未知参数θ的函数；③其他数字特征的未知值。2.点估计的常用方法（1）矩法（数字特征法）：A.基本思想：①用样本矩作为总体矩的估计值；②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。B.估计方法：同A。（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。3.点估计的评价标准二、参数的区间估计1.置信区间的概念设θ为总体的一个未知参数，由样本确定的两个统计量，若对于给定的概率有则称随机区间为参数θ的置信度为置信区间，并称为置信度（置信水平），2.置信区间的意义：θ的置信度为的置信区间指的是θ包含在区间的概率为100（1-α）％.3.置信区间的长度的规律（1）样本容量n固定，置信度1-α增大，置信区间长度增大，区间估计精度降低；1-α减小，区间长度减小，区间估计精度提高；（2）置信度1-α固定，样本容量n增大，区间长度减小，估计精度提高。4.正态总体参数的区间估计表（p162，表7－1）略。III.典型例题例1.设总体[答疑编号918020110：针对该题提问]答案：1例2.设总体X为指数分布，其密度函数为是样本，故[答疑编号918020111：针对该题提问]答案：解析：本题主要考核指数分布的数字特征及矩法估计。若指数分布的概率密度为本题总体X密度函数为是样本，由矩法估计有例3.设总体为来自总体的样本，无偏估计是（）[答疑编号918020112：针对该题提问]答案：A解析：本题考察的是课本p153例7－14的一个说明，即是总体方差的无偏估计。本人在面授讲课中曾经证明过。例4.设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为由来自总体X的一个样本[答疑编号918020113：针对该题提问]答案：解析：本题考察指数分布的概念：设总体X服从参数为的指数分布，则其数学期望例5.设总体为来自总体X的样本，则当α＝______时，[答疑编号918020114：针对该题提问]答案：1/4例6.由来自正态总体容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是______.[答疑编号918020115：针对该题提问]答案：[9.804，10.196]解析：本题考核区间估计内容。本题属于“单正态总体、方差已知，均值的区间估计”问题，置信度为1－α的置信区间为由已知，所以，所求区间为[10－0.196，10＋0.196]。例7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设X～N（μ,σ2），其中μ,σ2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求μ的置信度95％的置信区间.[答疑编号918020116：针对该题提问]解析：本题为区间估计的应用题。解：由条件知，本题为单正态总体X～N（μ,σ2）方差σ2未知，求均值μ置信度为95％的置信区间。为此选择统计量通过推导可得，置信度为1－α均值μ的置信区间为由已知带入上式得计算得所求置信区间为[19.948,21.652].例8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（μ,σ2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差试求：总体方差σ2的置信度为95％的置信区间.（附：[答疑编号918020117：针对该题提问]答案：解析：本题是正态总体，均值未知，总体方差的区间估计。解：由已知，置信度1－α＝95％，取样本方差s2为总体方差σ2的点估计，选择估计函数从而得到σ2的1－α置信区间为查带入数值分别计算得因此，所求的置信区间为[0.0428，1.8519].专题三假设检验I.考点分析最低分数分布最高分数分布平均分数分布两类错误②1检验统计量②，22均值检验83方差检验2合计4/10010/1008/100II.内容总结一、假设检验问题1.假设检验的基本思想假设检验的理论根据是“小概率”原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，所以，在一次试验中发生的事件（抽出的一个样本）可以认为是“大概率”事件，对所检验的总体的概率分布具有代表性，因此，可以在一定的显著水平使用一次抽样得到的样本对总体进行检验，得出确定的结论，对作出的假设进行取舍。2.统计假设的概念：对一个总体或两个总体的某个统计性质进行说明或比较时，由于这些性质未知或不完全知道，因而作出某种假设H0，称为统计假设。3.假设检验的类型①参数的假设检验：对总体的数字特征，或分布函数中的参数提出假设的问题，称为参数的假设检验。②非参数的假设检验：除上述问题以外的假设检验，称为非参数假设检验。二、假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值μ检验，原假设为H0：μ=μ0，备择假设为下列三种情况之一：2.选择适当的检验统计量，满足：①必须与假设检验中待检验的“量”有关；②在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平α查表确定对应于α的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。三、假设检验与区间估计的联系在显著水平为α的双侧检验中，接受域（课本没有给出接受域的概念，即拒绝域在实数内的补集）即为置信度为1-α的置信区间，即统计量的观测值落入置信区间时，接受原假设，否则拒绝原假设，二者的风险是一致的。以单个正态总体，σ2已知，对均值μ的区间估计及对μ的双侧检验为例，加以说明。四、假设检验的两类错误（1）假设检验可能犯下列两类错误：①第一类错误：“弃真错误”：H0正确而放弃H0。犯第一类错误的概率为显著水平α；②第二类错误：“取伪错误”：H0不正确而接受H0。犯第二类错误的概率为β，但没有给出β的求法。（2）两类错误的关系在样本容量不变的条件下，如果减小犯第一类错误的概率α，必然扩大接受域，缩小拒绝域，则会增加犯第二类错误的概率β；反之亦然。若同时减少犯两类错误的概率，只有增加样本容量。五、各种假设检验（检验水平为）列表p181，表8－4，略。III.典型例题例1.设总体X服从正态分布N（μ，1）为来自该总体的样本，为样本均值，s的样本标准差，欲检验假设则检验用的统计量是[答疑编号918020201：针对该题提问]答案：B解析：本题考察正态总体、方差已知、对均值的检验。属于u检验，检验统计量为例2.设总体N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为来自该总体的样本，为样本均值，S2为样本方差，欲检验假设则检验用的统计量是（）.[答疑编号918020202：针对该题提问]答案：C解析：本题考察正态总体、方差未知、均值的检验，属于t检验，检验统计量为例3.某公司对产品价格进行市场调查，如果顾客估价的调查结果与公司定价有较大差异，则需要调整产品定价。假定顾客对产品估价为X元，根据以往长期统计资料表明顾客对产品估价X～N（35，102），所以公司定价为35元。今年随机抽取400个顾客进行统计调查，平均估价为31元。在α=0.01下检验估价是否显著减小，是否需要调整产品价格？（u0.01=2.32，u0.005=2.58）[答疑编号918020203：针对该题提问]解析：本题考核单侧假设检验。解：设需要检验的假设根据题目的已知条件（单正态总体、方差已知，对均值进行检验），选择统计量因为样本观察值－8W所以，拒绝原假设H0，接受H1，即可以认为估价显著减小，应该对公司定价进行调整。例4.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（）A.在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率B.在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率C.在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D.在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率[答疑编号918020204：针对该题提问]解析：在假设检验问题中，“第一类错误”称为“弃真错误”，指H0为真时被拒绝；“第二类错误”称为“取伪错误”，指H0为假时被接受，总之，两类错误均针对H0而言，注意记忆。选C。例5.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H0为原假设，则P{拒绝H0｜H0真}＝___________。[答疑编号918020205：针对该题提问]解析：“犯第一类错误”是指犯“弃真错误”，即H0成立而拒绝H0，其概率为显著水平。这里所说犯第一类错误的概率就是P{拒绝H0｜H0为真）所以，本题填写0.05。例6.对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受H0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是（）A.不接受，也不拒绝H0B.可能接受H0，也可能拒绝H0C.必拒绝H0D.必接受H0[答疑编号918020206：针对该题提问]答案：D。解析：本题考核假设检验中对显著水平意义的理解。设μ为检验统计量的样本观察值，在例题8－1的推导过程中有即，当H0为真时，拒绝H0的概率为α。因此，当α减小时，H0被拒绝的概率减小，被接受的概率增大。专题四回归分析I.考点分析近几年试题的