一般矩阵可逆的判定

-1-一般矩阵可逆的判定Good（11统计数学与统计学院1111060231）摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。关键字：𝑛阶方阵𝐴；|𝐴|≠0；r(𝐴)=𝑛；∀𝜆𝑛≠0；AB=BA=𝐼𝑛0引言逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。1矩阵的概念1.0矩阵的定义定义1：令F是一个数域，用F上的𝑚×𝑛个数𝑎𝑖𝑗(𝑖=1,2,⋯,𝑚;𝑗=1,2,⋯,𝑛)排成𝑚行𝑛列的矩阵列，则称为𝑚×𝑛阵，也称为一个F上的矩阵，简记为𝐴𝑚𝑛。𝐴=[𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22⋯𝑎1𝑛⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑚1𝑎𝑚2⋱⋮⋯𝑎𝑚𝑛]1.1逆矩阵的定义定义2：设𝐴是数域F上的𝑛阶方阵，若数域F上同时存在一个𝑛阶方阵𝐵,使得𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼𝑛则称𝐵是𝐴的逆矩阵，记作：𝐵=𝐴−1。-2-2矩阵可逆的判定2.0矩阵可逆判定的前提对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。内容不一样，但思想是相通的。这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。2.1由定义判定由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵𝐵，使得矩阵𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼𝑛，那么就可以称矩阵𝐴是可逆的，矩阵𝐵就是矩阵𝐴的逆矩阵。记作：𝐵=𝐴−1。如果不存在方阵𝐵使得𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼𝑛，那么就说矩阵𝐴是不可逆的。但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。下面通过一个例子来分析。例子1：设存在一个方阵𝐴和方阵𝐶，如下所示：𝐴=[200020002]𝐶=[3−112011−12]解析：从题目可知矩阵𝐴和矩阵𝐶同时满足可逆的前提条件。但对于矩阵𝐶来说，定义无法直接给出矩阵𝐶的逆矩阵，因而无法判断𝐶是否可逆。但是却可以马上判断出矩阵𝐴是可逆的，并且可以马上写出矩阵𝐴的逆矩阵𝐵，即：𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼𝑛[200020002][120001200012]=[120001200012][200020002]=[100010001]2.2矩阵秩的判定定理1：设𝐴是数域F上的𝑛阶方阵，若𝐴可逆，那么r(𝐴)=𝑛。从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。在例子1中，矩阵𝐴很明显是满秩。即r(𝐴)=3，即矩阵𝐴是可逆的。那么对于矩阵𝐶是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵𝐶是否是满秩的。𝐶=[3−112011−12]=[3−11023130−2353]=[3−1102313002]经过初等变换，可以得出r(𝐶)=3,那么矩阵𝐶也是可逆的。2.3行列式判别法定理2：设𝐴是数域F上的𝑛阶方阵，若|𝐴|≠0，那么𝐴是可逆的。对于例子1中的方阵𝐴和方阵𝐶，可以求出|𝐴|=8≠0，那么方阵𝐴可逆。对于方阵𝐶，要求相对应的行列式|𝐶|的值。通过行列式的性质可将|𝐶|化简。-3-|𝐶|=|3−112011−12|=||3−11023130−2353||=|3−1102313002|=4≠0由于|𝐶|≠0，所以通过行列式判断𝐶也是可逆的。2.4特征值判别法定理3：设𝐴是数域F上的𝑛阶方阵，若存在特征向量λ使得|𝐴−𝜆𝐼|=0，若特征向量λ中的任意的一个元素∀𝜆𝑛≠0，那么𝐴是可逆的。对于例子1中的矩阵𝐶有|𝐶−𝜆𝐼|=0，即：|𝐶−𝜆𝐼|=|3−λ−112−λ11−12−λ|=0解析：2(2−𝜆)−𝜆(2−𝜆)(3−𝜆)=0(𝜆−1)(𝜆−2)2=0𝜆1=1,𝜆2=𝜆3=2通过求解矩阵𝐶的特征值，对于∀𝜆𝑛≠0，所以矩阵𝐶是可逆的。3逆矩阵的求解3.1定义法求逆矩阵从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。3.2初等变换求逆矩阵定义3：矩阵的初等变换第一类对调矩阵中任意两行（列）的位置。第二类用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。第三类将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。定义4：若𝐴是数域F上可逆的𝑛阶方阵，则𝐴可以通过初等变换为单位矩阵𝐼,在变换的过程中，当𝐴转换为𝐼时，相应的𝐼也转换为𝐴−1。记为：(𝐴|𝐼)→(𝐼|𝐴−1)对于例子1中的矩阵𝐶，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵𝐶的逆矩阵𝐶−1。解析：(𝐶|𝐼)→(𝐼|𝐶−1)−−−→(3−112011−12|100010001)−−−→(1−1313023130−2353||1300−2310−1301)−−−→-4-−−−→(1−1313023130−2353||1300−2310−1301)−−−→(1−13130112001||1300−1320−121212)−−−→(100010001||1414−14−3454−14−121212)，根据定义4，那么𝐶−1=[1414−14−3454−14−121212]𝐶𝐶−1=[3−112011−12][1414−14−3454−14−121212]=[100010001]=𝐼𝑛𝐶−1𝐶=[1414−14−3454−14−121212][3−112011−12]=[100010001]=𝐼𝑛3.3伴随矩阵求逆矩阵定理4：𝑛阶矩阵𝐴可逆的充要条件是𝐴非奇异,那么𝐴−1=𝐴∗|𝐴|，𝐴∗为矩阵𝐴的伴随矩阵。定义5：伴随矩阵：𝐴∗=[𝐴11𝐴12𝐴21𝐴22⋯𝐴1𝑛⋯𝐴2𝑛⋮⋮𝐴𝑛1𝐴𝑛2⋱⋮⋯𝐴𝑛𝑛],𝐴𝑖𝑗是|𝐴|中𝑎𝑖𝑗的代数余子式。𝐴∗为矩阵𝐴的伴随矩阵。定义6：|𝐴|=𝑎11𝐴11+𝑎21𝐴21+𝑎31𝐴31+⋯+𝑎𝑛1𝐴𝑛1=∑𝑎1𝑟𝐴1𝑠𝑛𝑟,𝑠=1行列式展开式若𝑠≠𝑟,则∑𝑎1𝑟𝐴1𝑠𝑛𝑟,𝑠=1=0；𝑠=𝑟，∑𝑎1𝑟𝐴1𝑠𝑛𝑟,𝑠=1=|𝐴|，其中𝐴𝑖𝑗=(−1)𝑖+𝑗𝑀𝑖𝑗代数余子式分析步骤：1设𝑛阶矩阵𝐴是非奇异阵，那么𝐴可逆。那么𝐴𝐴∗如下所示：𝐴𝐴∗=[𝑎11𝑎12𝑎21𝑎22⋯𝑎1𝑛⋯𝑎2𝑛⋮⋮𝑎𝑛1𝑎𝑚2⋱⋮⋯𝑎𝑛𝑛][𝐴11𝐴12𝐴21𝐴22⋯𝐴1𝑛⋯𝐴2𝑛⋮⋮𝐴𝑛1𝐴𝑛2⋱⋮⋯𝐴𝑛𝑛]根据定义6可知𝐴𝐴∗的值为|𝐴|𝐼。∵若𝑠≠𝑟,则∑𝑎1𝑟𝐴1𝑠𝑛𝑟,𝑠=1=0；若𝑠=𝑟，∑𝑎1𝑟𝐴1𝑠𝑛𝑟,𝑠=1=|𝐴|-5-∴𝐴𝐴∗=[|𝐴|00|𝐴|⋯0⋯0⋮⋮00⋱⋮⋯|𝐴|]=|𝐴|[1001⋯0⋯0⋮⋮00⋱⋮⋯1]例子1中的矩阵𝐶∵通过前面的判别分析可以知道矩阵𝐶是可逆的。∴矩阵𝐶是非奇异的。下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵𝐶的逆矩阵。1求出伴随矩阵𝐶∗。𝐶∗=[11−1−35−1−222]2求出矩阵𝐶的行列式|𝐶|。|𝐶|=|3−112011−12|=43根据定理4求出矩阵𝐶的逆矩阵𝐶−1=𝐶∗|𝐶|𝐶−1=𝐶∗|𝐶|=14×[11−1−35−1−222]=[1414−14−3454−14−121212]4验证𝐴𝐵=𝐵𝐴=𝐼𝑛𝐶𝐶−1=𝐶−1𝐶=𝐼𝑛𝐶𝐶−1=[3−112011−12][1414−14−3454−14−121212]=[100010001]=𝐼𝑛𝐶−1𝐶=[1414−14−3454−14−121212][3−112011−12]=[100010001]=𝐼𝑛5结论用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等多种-6-方法。这里就不一一介绍这些方法了。在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。4总结在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变换法，伴随矩阵法，对于不是研究的人员这已经足够了。最后，在面对一个2阶方阵[𝑎𝑏𝑐𝑑]求逆矩阵时，也可以直接套公式𝐴−1=1𝑎𝑑−𝑏𝑐[𝑑−𝑐−𝑎𝑎]，这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程，也是较为方便的。参考文献[1]姚慕生，《高等代数学》[M],上海：复旦大学出版社（第二版），2002[2]张禾瑞，郝炳新，《高等代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007[3]同济大学数学系编，《线性代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007