一阶倒立摆项目报告

一阶倒立摆项目报告13级自动化卓越班小组成员：李迎迎李艳艳张婧娴徐山姚红娟目录一、系统概述………………………………………………………11.1系统介绍……………………………………………………………11.2项目内容……………………………………………………………11.3系统分析步骤………………………………………………………1二、数学建模2.1受力分析……………………………………………………………22.2方框图………………………………………………………………2三、根轨迹分析3.1设计控制器…………………………………………………………73.2根轨迹图……………………………………………………………10四、频域分析4.1校正后传递函数……………………………………………………114.2校正前后波特图……………………………………………………12五、PID控制5.1系统加入PID………………………………………………………135.2自动调节PID参数…………………………………………………135.3加入PID后的阶跃响应……………………………………………135.4加入PID后的脉冲响应……………………………………………13六、结论和分析一、系统概述1.1系统介绍：如下图1所示为一由小车、摆杆、电机、皮带构成的直线一级倒立摆系统，在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，直线一级倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统。1.2项目内容：图2是系统中小车和摆杆的受力分析图，请以向右的加速度为输入，摆杆角度为输出，建立此系统的数学模型。试分析系统的稳定性、利用根轨迹法设计控制器，使得校正后系统的要求如下：,5.0stsσ%10%,求此时各动态性能指标，单位脉冲信号下的稳态误差；利用频率特性设计控制器Gc(s)，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50º，增益裕量等于或大于10分贝。图1图2实际系统的模型参数如下：M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034Kg*m*m1.3系统分析步骤：1、数学建模（确定传递函数）2、时域分析（由于倒立摆是不稳定系统，通过MATLAB分析稳定性无意义）3、根轨迹（观察根轨迹图像，加入零极点让系统趋于稳定）4、频域分析二、数学建模2.1系统受力分析：在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示。我们做了以下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）系统中小车和摆杆的受力分析图如下：其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。【注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。】分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中，就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosϕ=-cosθ,sinφ=-sinθ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ1，则可以进行近似处理0)(sin1cos2dtd⑨对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：⑾⑿⒀把上式代入方程组的第二个方程，得到：⒁系统的传递函数：代入实际数据，得到以加速度为输入，摆杆角度为输出的开环传递函数：2.2系统结构方框图：三.根轨迹分析3.1设计控制器：设计控制器使得校正后系统的要求如下：调整时间ts=0.5s(2%)最大超调量%10Mp。根轨迹设计编写程序如下：num=[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];G=tf(num,den)计算机运动控制卡伺服驱动器伺服电机倒立摆倒立摆倒立摆倒立摆光电码盘2倒立摆倒立摆mglsmlImlsRsCsG22)()()()(26705.00102125.002725.0)s()()(2sRsCsG光电码盘1[z,p,K]=tf2zp(num,den)sys=zpk(z,p,K)%原系统零极点表达式subplot(3,2,1),rlocus(sys);%绘制原系统根轨迹t=0:0.005:10;subplot(3,2,2),step(sys,t)%绘制原系统阶跃相应曲线OverStep=0.1;%设置超调量AdjustTime=0.5;%设置调整时间zeta1=abs(sqrt((log(OverStep)^2)/(pi^2+(log(OverStep)^2))))%计算满足设计要求的阻尼比sita1=acos(zeta1)wn=4/(zeta1*AdjustTime)%计算满足要求的自然振荡角频率P=[wn*(-cos(sita1)+i*sin(sita1)),wn*(-cos(sita1)-i*sin(sita1))]%期望闭环主导极点用复数表示zeroc=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2)%校正环节零点polec=real(P(1))-imag(P(1))*tan(gama+sita1-pi/2+fai)%校正环节极点zg=[z;zeroc]%校正环节零极点加入原系统中pg=[p;polec]sys2=zpk(zg,pg,Kc*K)%校正后系统开环传递函数subplot(3,2,3),rlocus(sys2);%绘制加入校正环节后系统根轨迹T=feedback(sys2,1);%校正后系统闭环传递函数subplot(3,2,4);step(T,t)%校正后系统阶跃相应Transferfunction:0.02725--------------------0.01021s^2-0.2671Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136K=2.6683Zero/pole/gain:2.6683-------------------(s-5.114)(s+5.114)zeta1=0.5912sita1=0.9383wn=13.5328P=-8.0000+10.9150i-8.0000-10.9150izeroc=-6.9222polec=-26.4567zg=-6.9222pg=5.1136-5.1136-26.4567Zero/pole/gain:141.1365(s+6.922)------------------(s+26.46)Zero/pole/gain:376.5944(s+6.922)-----------------------------(s-5.114)(s+5.114)(s+26.46)3.2根轨迹图原系统开环传递函数根轨迹图原系统阶跃相应曲线加入校正环节后系统根轨迹校正后系统阶跃相应曲线四.频域分析4.1校正后传递函数利用频率特性设计控制器Gc(s)，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50º，增益裕量等于或大于10分贝.26705.00102125.002725.0)(20SSG超前校正的一般形式：111)(TSTSSG根据误差要求得校正前系统传递函数为26705.00102125.010)(2SSG令m50º+5º=55º得1.10sin1sin1mm由10lg|)ω(|lg20mG得ωm=55.080057.01m校正装置传递函数为10.110057.01057.0)(cSSSG校正后系统的传递函数为)26705.00102125.0)(10057.0()1057.0(10)(2SSSSG4.2校正前后波特图校正前系统的波特图校正后系统的波特图五.PID控制5.1系统加入PID：5.2自动调节PID参数5.3加入PID后的阶跃响应5.4加入PID后的脉冲响应6.结论和分析经过用根轨迹分析法，频率响应分析和PID分析法，都可以设计出满足所需要条件的校正装置。不过其中每种方法都有各自的特色。通过对matlab的使用和学习，更能明白自动控制的作用和意义。为以后从事自动控制方面的工作和学习，打下了更加牢固的基础，本次项目设计是不可多的机会。