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已知函数xaaxxxf)2(ln)(2.(I)讨论)(xf的单调性;(II)设0a,证明:当ax10时,)1()1(xafxaf;(III)若函数)(xfy的图像与x轴交于BA、两点,线段AB中点的横坐标为0x,证明:0)(0'xf.命题说明:一、命题来源:个人原创二、主要考查以下几方面内容:(1)考查求导公式(包括形如)(baxf的复合函数求导)及导数运算法则;(2)考查对数的运算性质;(3)导数法判断函数的单调性;(4)考查用构造函数的方法证明不等式;(5)考查分类讨论、数形结合、转化划归思想;三、难度:属于理科导数压轴题,难;四、解题方法:(Ⅰ)解:)(xf的定义域为),0(,(解决函数问题,定义域优先的原则)1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx(常见函数的导数公式及导数的四则运算)(ⅰ)若,0a则0)('xf,所以)(xf在),0(单调递增;(ⅱ)若,0a则由0)('xf得ax1,当)1,0(ax时,0)('xf,当),1(ax时,0)('xf(导数法研究函数单调性,涉及分类讨论的思想)1()(0,)fxa在单调递增,在1(,)a单调递减.综上,当0a时,)(xf在),0(单调递增;当0a时,1()(0,)fxa在单调递增,在1(,)a单调递减.归纳小结:本小问属导数中常规问题,易错点有二:易错点一是忽略函数的定义域,易错点二是分类讨论的分类标准的选取。(II)分析:函数、导数综合问题中的不等式的证明,主要是构造函数的思想,利用所构造的函数的最值,来完成不等式的证明。形如“)1()1(xafxaf”的不等式叫二元的不等式,二元不等式的证明主要采用“主元法”。解析:方法一:构建以x为主元的函数设函数11()()(),gxfxfxaa(构造函数体现划归的思想)则axaxaxxg2)1ln()1ln()(,(这是本题的难点,估计很多学生不知要把)(xg朝何方象化简,由于要利用导数法求最值,所以应朝有利于求导的方向化简,另外考试大纲中明确对复合函数求导,只需掌握)(baxf型。)2223'12211)(xaxaaaxaaxaxg()(baxf型的复合函数求导)当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时,11()().fxfxaa方法二:构建以a为主元的函数设函数)1()1()(xafxafag,则axaxaxag2)1ln()1ln()(2223'12211)(xaaxxaxxaxxag由ax10,解得xa10当xa10时,0)('ag,而0)0(g,所以0)(ag故当xa10,11()().fxfxaa归纳小结:无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式,解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。(Ⅲ)分析:判断)(0'xf的正负,由(Ⅰ)中单调性,可知,即确定221xx与a1的大小关系,又可等效成判断12xa与2x的大小关系,根据(Ⅱ)中不等式可确定)2(1xaf与)(2xf的大小关系,结合(Ⅰ)中)(xf单调性,问题迎刃而解。解:由(I)可得,当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点,故0a,从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则(结合图象分析更方便)由(II)得)()()11()2(2111xfxfxaafxaf(注意前后两问的衔接)又)(xf在1(,)a单调递减所以1221021,.2xxxxxaa于是(利用函数性质脱掉函数符号)由(I)知,0()0.fx归纳小结:本小问解决主要是建立在第(Ⅰ)(II)问的基础之上的,分析问题中注意数形结合,解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法,需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通,达到以“无法胜有法,以无招胜有招的境界,才有机会解决这个问题,是考查学生综合能力的体现。五、试题蕴含的数学思想方法:数学思想:(1)分类讨论思想(2)转化划归思想(3)数形结合思想数学方法:(1)导数法确定函数单调性(2)构造函数法证明不等式六、题目的几何背景:任何抽象的代数形式背后,都有其深刻的几何背景,本题的几何背景无论是函数xxexf)(还是)0()2(ln)(2axaaxxxf其实都是先减后增的单峰函数,利用图象的对称平移变化,就能出现在x的指定的某一范围下,)()(xgxf、两函数图象的端点处的函数值相同,图象有高低,也就产生了我们的试题中的第(II)问。由于)(xf为单峰函数,图像关于直线0xx(0x为函数的极值点)不对称,导致直线my(或x轴)与曲线相交时,交点BA、到直线0xx的距离不等,进而出现AB重点M在0xx的右侧,也就出现试题中的第(III)问。七、问题变式与拓展对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手,对其加以变式,一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法,我主要从以下几个方面对试题加以变式。问题变式一:已知函数xaaxxxf)2(ln)(2.(III)若函数)(xfy的图像与直线my交于BA、两点,线段AB中点的横坐标为0x,证明:0)(0'xf.编题意图:将特殊直线0y(或x轴)变成一般的直线my,体现从特殊到一般。问题变式二:已知函数)0(ln)(2abxaxxxf,(III)若函数()yfx的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为0x,证明:0'()0fx.编题意图:要解决的问题不变,改编的是原函数,通过添加参数来改编试题,改变试题的难度。问题变式三:已知函数xxxfln)((1)求)(xf的单调区间;(2)求证:,0ex)()(xefxef(3)设图象与直线my的两交点分别为)(,()(,(2211xfxBxfxA、,AB中点横坐标为,0x证明:0)(0'xf编题意图:跳出所给函数,尝试在新函数下改编问题。问题变式四:已知函数axxxxf2ln2)(,若函数的图象与x轴交于两点1(,0)Ax、2(,0)Bx,且120xx.若正常数,pq满足1,pqqp.求证:.0)(21'qxpxf编题意图:将中点变成任意分点,来改编试题。
本文标题:一题多解11---导数--极值点偏移
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