一题多解11---导数--极值点偏移

已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III）若函数)(xfy的图像与x轴交于BA、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0'xf．命题说明：一、命题来源：个人原创二、主要考查以下几方面内容：（1）考查求导公式（包括形如)(baxf的复合函数求导）及导数运算法则；（2）考查对数的运算性质；（3）导数法判断函数的单调性；（4）考查用构造函数的方法证明不等式；（5）考查分类讨论、数形结合、转化划归思想；三、难度：属于理科导数压轴题，难；四、解题方法：（Ⅰ）解：)(xf的定义域为),0(，（解决函数问题，定义域优先的原则）1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx（常见函数的导数公式及导数的四则运算）（ⅰ）若,0a则0)('xf，所以)(xf在),0(单调递增；（ⅱ）若,0a则由0)('xf得ax1，当)1,0(ax时，0)('xf，当),1(ax时，0)('xf（导数法研究函数单调性，涉及分类讨论的思想）1()(0,)fxa在单调递增，在1(,)a单调递减.综上，当0a时，)(xf在),0(单调递增；当0a时，1()(0,)fxa在单调递增，在1(,)a单调递减.归纳小结：本小问属导数中常规问题，易错点有二：易错点一是忽略函数的定义域，易错点二是分类讨论的分类标准的选取。（II）分析：函数、导数综合问题中的不等式的证明，主要是构造函数的思想，利用所构造的函数的最值，来完成不等式的证明。形如“)1()1(xafxaf”的不等式叫二元的不等式，二元不等式的证明主要采用“主元法”。解析：方法一：构建以x为主元的函数设函数11()()(),gxfxfxaa（构造函数体现划归的思想）则axaxaxxg2)1ln()1ln()(，（这是本题的难点，估计很多学生不知要把)(xg朝何方象化简，由于要利用导数法求最值，所以应朝有利于求导的方向化简，另外考试大纲中明确对复合函数求导，只需掌握)(baxf型。）2223'12211)(xaxaaaxaaxaxg（)(baxf型的复合函数求导）当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时，11()().fxfxaa方法二：构建以a为主元的函数设函数)1()1()(xafxafag，则axaxaxag2)1ln()1ln()(2223'12211)(xaaxxaxxaxxag由ax10，解得xa10当xa10时，0)('ag，而0)0(g，所以0)(ag故当xa10，11()().fxfxaa归纳小结：无论是方法一还是方法二都采用了构造函数法证明不等式，解题中都体现了将不等式证明问题划归为函数最值的划归思想。（Ⅲ）分析：判断)(0'xf的正负，由（Ⅰ）中单调性，可知，即确定221xx与a1的大小关系，又可等效成判断12xa与2x的大小关系，根据（Ⅱ）中不等式可确定)2(1xaf与)(2xf的大小关系，结合（Ⅰ）中)(xf单调性，问题迎刃而解。解：由（I）可得，当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点，故0a，从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则（结合图象分析更方便）由（II）得)()()11()2(2111xfxfxaafxaf（注意前后两问的衔接）又)(xf在1(,)a单调递减所以1221021,.2xxxxxaa于是（利用函数性质脱掉函数符号）由（I）知，0()0.fx归纳小结：本小问解决主要是建立在第（Ⅰ）（II）问的基础之上的，分析问题中注意数形结合，解题时要有“回头看”的意识。完成本问很难说学生究竟用了什么方法，需要学生要对所学过的知识、方法要做到完全融会贯通，达到以“无法胜有法，以无招胜有招的境界，才有机会解决这个问题，是考查学生综合能力的体现。五、试题蕴含的数学思想方法：数学思想：（1）分类讨论思想（2）转化划归思想（3）数形结合思想数学方法：（1）导数法确定函数单调性（2）构造函数法证明不等式六、题目的几何背景：任何抽象的代数形式背后，都有其深刻的几何背景，本题的几何背景无论是函数xxexf)(还是)0()2(ln)(2axaaxxxf其实都是先减后增的单峰函数，利用图象的对称平移变化，就能出现在x的指定的某一范围下，)()(xgxf、两函数图象的端点处的函数值相同，图象有高低，也就产生了我们的试题中的第（II）问。由于)(xf为单峰函数，图像关于直线0xx（0x为函数的极值点）不对称，导致直线my（或x轴）与曲线相交时，交点BA、到直线0xx的距离不等，进而出现AB重点M在0xx的右侧，也就出现试题中的第(III)问。七、问题变式与拓展对于一个试题的变式无外乎从这两个方面入手，对其加以变式，一对题目的条件加以变式、二对题目的结论加以变式。基于以上想法，我主要从以下几个方面对试题加以变式。问题变式一：已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（III）若函数)(xfy的图像与直线my交于BA、两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0)(0'xf．编题意图：将特殊直线0y（或x轴）变成一般的直线my，体现从特殊到一般。问题变式二：已知函数)0(ln)(2abxaxxxf，（III）若函数()yfx的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0'()0fx．编题意图：要解决的问题不变，改编的是原函数，通过添加参数来改编试题，改变试题的难度。问题变式三：已知函数xxxfln)(（1）求)(xf的单调区间；（2）求证：,0ex)()(xefxef（3）设图象与直线my的两交点分别为)(,()(,(2211xfxBxfxA、，AB中点横坐标为,0x证明：0)(0'xf编题意图：跳出所给函数，尝试在新函数下改编问题。问题变式四：已知函数axxxxf2ln2)(，若函数的图象与x轴交于两点1(,0)Ax、2(,0)Bx，且120xx.若正常数,pq满足1,pqqp.求证：.0)(21'qxpxf编题意图：将中点变成任意分点，来改编试题。