《高等数学B》(二)模拟试卷(11)

《高等数学B》（二）模拟考试题（11）一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.已知两点)1,2,4(1M和)2,0,3(2M，计算向量21MM的模，方向余弦和方向角。2.求过点)3,0,2(且垂直于平面0532zyx的直线方程。二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.设22lnyxz，证明02222yzxz.2.求方程1033xyzz所确定的隐函数),(yxzz的一阶偏导数。三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.计算二重积分Ddxdyyx)2(，其中D是由曲线21xy，22xy所围成的平面闭区域。2.改变二次积分211),(ydxyxfdy的积分次序。四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.求微分方程0)1(32xdxdyy满足00xy的特解。2.求微分方程082yyy的通解。五、（本题9分）求差分方程8212xxxyyy的通解。六、（本题9分）把函数xxxf5)(展开成x的幂级数。七、（本题9分）判断级数1212nnn的收敛性。八、（本题9分）将12分成三个正数x，y，z之和，求2zyx的最大值。《高等数学B》（二）模拟考试题（11）解答一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.已知两点)1,2,4(1M和)2,0,3(2M，计算向量21MM的模，方向余弦和方向角。解因为}1,2,1{21MM，所以21)2()1(22221MM；…321cos，22cos，21cos；32，43，3.………22.求过点)3,0,2(且垂直于平面0532zyx的直线方程。解由题意可得，直线的方向向量为}3,2,1{s…………3故可得所求的直线方程为33212zyx.……………5二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.设22lnyxz，证明02222yzxz.证因为22yxxxz，22yxyyz，2所以2222222)(yxxyxz，2222222)(yxyxyz2+2因此有02222yzxz.(证毕)22.求方程1033xyzz所确定的隐函数),(yxzz的一阶偏导数。解设103),,(3xyzzzyxF，则…………2yzFx3，xzFx3，xyzFz332…………3从而xyzyzFFxzzx2；xyzxzFFyzzy2.……3三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.计算二重积分Ddxdyyx)2(，其中D是由曲线21xy，22xy所围成的平面闭区域。解.12,11:22xyxxD2221211)2()2(xxDdyyxdxdxdyyx211234)123(dxxxxx1532.2+22.改变二次积分211),(ydxyxfdy的积分次序。解因为积分区域yxy121可以表示成221yxx，4所以212211),(),(xydyyxfdxdxyxfdy.4四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1.求微分方程0)1(32xdxdyy满足00xy的特解。解这是个可分离变量的微分方程，分离变量后得dxxdyy32)1(3得通解为Cxy433)1(4(C为任意常数).2将00xy代人上式得4C，1因此得该微分方程的特解为43)1(443xy.22.求微分方程082yyy的通解。解其特征方程为0822，解得特征根为41，22，2因此得该微分方程的通解为xxeCeCy2241(1C,2C为任意常数).4五、（本题9分）求差分方程8212xxxyyy的通解。解(1)先求0212xxxyyy的通解xY.由于特征方程为0122，121是其特征根。故)(21xCCYx(1C,2C为任意常数).…………3(2)再求非齐次方程的一个特解xy.由于1是特征方程的二重根，于是令2xayx代入原方程得4a,从而24xyx.…………………………3(3)原方程的通解为xxxyYy2214)(xxCC(1C,2C为任意常数).3六、（本题9分）把函数xxxf5)(展开成x的幂级数。解5ln5xxe，又有0!nnxnxe，),(x………1+3nnnxxne05ln!)5(ln，),(x………3因此xxxf5)(10!)5(lnnnnxn，),(x………2七、（本题9分）判断级数1212nnn的收敛性。解因为12121221)1(2limlim11nnnnnnnnuu………2+2+2+1由比值判别法可知该级数收敛。………………2八、（本题9分）将12分成三个正数x，y，z之和，求2zyx的最大值。解根据题意，目标函数为2),,(zyxzyxf，且满足条件zyx12)12,,0(zyx，这是一个条件极值问题，设)12(),,,(2zyxzxyzyxF…………3解方程组02001222zxyzxzyzyx………………2得3yx，6z.…………22),,(zyxzyxf的最大值为324)6,3,3(f.………2