【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习与数列交汇的综合问题提能专训

1提能专训(十二)与数列交汇的综合问题一、选择题1．(2014·吉林实验中学)若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11＝22π3，则tana6的值为()A.3B．－3C．±3D．－33[答案]B[解析]∵S11＝a1＋a112＝11a6＝22π3，∴a6＝2π3，∴tana6＝tan2π3＝－3.2．(2014·合肥二次联考)在△ABC中，tanA是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三角形()A．等腰直角B．钝角C．锐角D．非等腰的直角[答案]C[解析]依题意知，d＝tanA＝a7－a34＝4－－4＝2，q＝tanB＝3b6b3＝39÷13＝3.∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝2＋31－2×3＝－10，∴A＋B为钝角，故C为锐角．易知A，B均为锐角．∴△ABC为锐角三角形．3．(2014·安阳调研)等比数列{an}满足an0，n＝1,2，….且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．(n－1)2B．(n＋1)2C．n(2n－1)D．n2[答案]D[解析]∵等比数列{an}满足an0，a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a5·a2n－5＝(an)2＝22n，∴an＝2n.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2(an)n＝log2(2n)n＝log22n22＝n2.4．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是()A．216－1B．216－2C．216－3D．216－4[答案]C[解析]由题意可得转化为十进制数为1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×20＝1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×2＋1×20－2＝216－3.故选C.5．(2014·厦门5月适应性考试)数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为∏n，且∏n＝(2)n(n＋1)，则S5等于()A．31B．62C．124D．126[答案]B[解析]因为∏n∏n－1＝2nn＋2nn－＝2n(n≥2)，所以an＝2n(n≥2)，又a1＝∏1＝(2)2＝2，所以an＝2n(n∈N*)，即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则S5＝－251－2＝26－2＝62.故选B.6．(2014·浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f(x)＝x2x2＋1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＋f(2014)＋f12＋f13＋…＋f12013＋f12014＝()A．201012B．201112C．201212D．201312[答案]D[解析]这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现f(x)＋f1x＝1，因此把式子中f(k)与f1k合并使每个和都为1，共有2013个1，而f(1)＝12，故结论为D.7．(2014·西宁四校联考)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，记数列1an的前n项和为Sn，则Sn＝10时，n的值是()A．110B．1203C．130D．140[答案]B[解析]设f(x)＝xα，则4α＝2，α＝12，f(x)＝x，1an＝1n＋1＋n＝n＋1－n，数列1an的前n项和Sn＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.令n＋1－1＝10得n＝120，故选B.8．(2014·陕西质检)已知函数f(x)＝(1－3m)x＋10(m为常数)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}前100项的和为()A．39400B．－39400C．78800D．－78800[答案]B[解析]∵a1＝f(1)＝(1－3m)＋10＝2，∴m＝3，∴an＝f(n)＝－8n＋10，∴S100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×101×1002＋10×100＝－39400，故选B.9．(2014·兰州、张掖联考)如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f(x)＝x＋1x(x0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝()A．208B．216C．212D．220[答案]B[解析]由Bn(n,0)得Cnn，n＋1n，令x＋1x＝n＋1n，即x2－n＋1nx＋1＝0，得x＝n或x＝1n，所以Dn1n，n＋1n.所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2n－1n＋2n＋1n＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4×(2＋3＋…＋10)＝216.10．(2014·南昌一模)若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)n＋2013·a，bn＝2＋－n＋2014n，且anbn对任意n∈N*恒成立，则常数a的取值范围是()A．(－2,1)B．[－2,1)4C．(－2,1]D．[－2,1][答案]B[解析]由anbn，得－(－1)n·a2＋－1nn，要使其对任意n∈N*恒成立，则当n＝2k－1(k∈N*)时，a2－12k－1恒成立，又12k－1max＝1，所以a2－1＝1；当n＝2k(k∈N*)时，－a2＋12k恒成立，又12k∈0，12，所以－a≤2，得a≥－2.综上所述，－2≤a1.11．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)g′(x)，fg＋f－g－＝52，若有穷数列fngn(n∈N*)的前n项和等于3132，则n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]B[解析]fxgx′＝fxgx－fxgxg2x，因为f′(x)g(x)f(x)g′(x)，所以fxgx′0，即axlna0，故0a1.由fg＋f－g－＝52，得a＋1a＝52，解得a＝12.所以有穷数列fngn(n∈N*)是等比数列，其前n项和Sn＝12－12n＋11－12＝3132，解得n＝5.12．(2014·衡阳二模)设函数f(x)＝8x＋sinπx－cosπx，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a4＝()A．0B.14C.12D．1[答案]B[解析]由题知[f(a1)－2]＋[f(a2)－2]＋…＋[f(a7)－2]＝0，f(x)－2＝8x－14＋2sinπx－14.令g(t)＝8t＋2sinπt，则g′(t)＝8＋2πcosπt0，g(－t)＝－g(t)，∴ga1－14＋ga2－14＋…＋ga7－14＝0.∵数列{an}是公差不为0的等差数列，5∴不妨设a1a2…a7，则a1－14a2－14…a7－14，假设a1－14＋a7－140，a1－14－a7－14，ga1－14－ga7－14，ga1－14＋ga7－140，∴ga1－14＋ga2－14＋…＋ga7－140.假设a1－14＋a7－140，同理可得ga1－14＋ga2－14＋…＋ga7－140.综上，a1－14＋a7－14＝0，a1＋a7＝12，a4＝14.二、填空题13．(2014·河南六市统考)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f32－x＝f(x)，f(－2)＝5，数列{an}满足a1＝－1，且Snn＝2×ann＋1(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a6)＋f(a7)＝________.[答案]－5[解析]由题意，得Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an－1＋n－1)＝2an－2an－1＋1，∴an＝2an－1－1(n≥2)⇒an－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴数列{an－1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴an＝－2n＋1.∴a6＝－63，a7＝－127.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f32－x＝f(x)，∴f(x)是周期为3的函数．∴f(a6)＋f(a7)＝f(－63)＋f(－127)＝f(0)＋f(－1)＝f(2)＝－5.14．(2014·石家庄质检二)定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{an}满足a1＝a(a0)，a2＝1，an＋2＝2max{an＋1，2}an(n∈N*)，若a2014＝2a，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2014的值为________．[答案]52356[解析]∵a1＝a0，a2＝1，∴a3＝4a，a4＝a，8aa，a5＝2aa，a，a6＝a，∴a2014＝a402×5＋4＝a4＝2a＝4，∴a＝2，∴S2014＝(2＋1＋2＋4＋4)×402＋2＋1＋2＋4＝5235.15．(2014·吉林三模)各项均为正数的等比数列{an}满足a1a7＝4，a6＝8，若函数f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a10x10的导数为f′(x)，则f′12的值为________．[答案]554[解析]由题意，得公比q0，且an0，则有a21q6＝4，a1q5＝8，解得a1＝14，q＝2，∴an＝14×2n－1＝2n－3，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.∵nan12n－1＝n×2n－3×21－n＝n4，∴f′12＝14＋24＋…＋104＝10×112×14＝554.16．(2014·南京一模)已知等比数列{an}的首项为43，公比为－13，其前n项和为Sn，若A≤Sn－1Sn≤B对任意n∈N*恒成立，则B－A的最小值为________．[答案]5972[解析]根据题意，得Sn＝431－－13n1－－13＝1－－13n＝－n－1－n，设C＝Sn－1Sn＝－n－1－n－－n－n－1＝－－n＋1－2n－－n，令－2×(－3)n＋1＝t，则(－3)n＝1－t2，由于n∈N*，所以当n为奇数时(－3)n≤－3，t≥7，当n为偶数时(－3)n≥9，t≤－17.则C＝4tt2－1＝4t－1t，在t＝－17时取得最小值－1772，在t＝7时取得最大值712，所以B－A的最小值为712－－1772＝5972.7三、解答题17．(2014·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A0,0φπ)，当x＝－π3时取得最小值－4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝f(0)，a4＝fπ6，求数列1Sn的前n项和Tn.解：(1)由题意知x＝－π3时f(x)取得最小值－4，∴A＝4,4sin－2×π3＋φ＝－4，∴sin－2π3＋φ＝－1，又0φπ，∴φ＝π6，∴f(x)＝4sin2x＋π6.(2)∵a2＝f(0)，a4＝fπ6，∴a4＝4，a2＝2.设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，a1＝1，∴Sn＝nn＋2，Tn＝1S1＋1S2＋…＋1Sn＝21×2＋22×3＋…＋2nn＋＝21－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝2