【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)第1章集合与函数概念章末复习课新课标人教

章末复习课1．正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的，其属性是确定的．2．在判定给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”；在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”．3．在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质．4．若集合中的元素是用坐标形式给出的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之．5．若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时要不重不漏．6．相同函数的判定方法：(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．7．函数的定义域的求法：使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域．常涉及的依据为：(1)分母不为0；(2)偶次根式中被开方数不小于0；(3)零指数幂的底数不等于零；(4)实际问题要考虑实际意义等．8．函数值域的求法：(1)配方法(二次或四次)；(2)数形结合；(3)函数的单调性法等．9．单调性的判断步骤：(1)设x1，x2是所研究区间内的任意两个自变量，且x1x2；(2)作差比较或作商比较判定f(x1)与f(x2)的大小；(3)得出结论．10．奇偶性的判断步骤：(1)先求函数的定义域，若定义域关于坐标原点对称，继续以下步骤，若不对称，则为非奇非偶函数；(2)计算f(－x)的值；(3)判断f(－x)与±f(x)中的哪一个相等；(4)下结论.一、集合中空集的特殊性及特殊作用空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间的关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．例1已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C分析B⊆A包括两种情况，即B＝∅和B≠∅.解(1)当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.(2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题设，故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．二、集合中元素的互异性集合中元素的互异性是集合中元素的重要属性，这一属性在解题过程中常被忽略而造成错误．因此在涉及集合中元素的有关性质时，要有问题被解决后作检验这一意识．例2已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．分析要求c的值，根据集合相等，转化为解方程问题来解决．集合A，B有公共元素a，所以使余下的元素相等即可．解若a＋b＝ac，且a＋2b＝ac2，消去b，则有a－2ac＋ac2＝0.显然a≠0，否则集合B的元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，所以1－2c＋c2＝0，得c＝1，这时B＝{a，a，a}，仍与集合中元素的互异性矛盾；若a＋b＝ac2，且a＋2b＝ac，消去b，则有2ac2－ac－a＝0，又a≠0，则有2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0，又c≠1，所以c＝－12.三、函数的性质及应用研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及解析式等方面入手，通过对函数性质的应用使问题得以解决．例3已知函数f(x)＝mx2＋23x＋n是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数m和n的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0)上的单调性，并加以证明．解(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴mx2＋2－3x＋n＝－mx2＋23x＋n＝mx2＋2－3x－n.比较得n＝－n，n＝0.又f(2)＝53，∴4m＋26＝53，解得m＝2.即实数m和n的值分别是2和0.(2)函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数．证明如下：由(1)可知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x.设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.当x1x2≤－1时，x1－x20，x1x20，x1x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数；当－1x1x20时，x1－x20，x1x20，x1x2－10，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴函数f(x)在(－1,0)上为减函数．四、函数图象及应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点，在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．例4设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，(1)证明f(x)是偶函数；(2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．(1)证明f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)解当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x0时，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2，即f(x)=03,2130,2122xxxx根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．(3)解函数f(x)的单调区间为[-3，-1)，[-1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[-3，-1)和[0,1)上为减函数，在[-1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解当x≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2，最大值为f(3)=2；当x0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2，最大值为f(-3)=2.故函数f(x)的值域为[-2,2].一、选择题1．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则()A．f－32f(－1)f(2)B．f(－1)f－32f(2)C．f(2)f(－1)f－32D．f(2)f－32f(－1)答案D解析由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)，又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2－32－1，则f(2)f－32f(－1)．二、填空题2．有下列四个命题：①函数f(x)＝|x||x－2|为偶函数；②函数y＝x－1的值域为{y|y≥0}；③已知集合A＝{－1,3}，B＝{x|ax－1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，则a的取值集合为－1，13；④集合A＝{非负实数}，B＝{实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射．你认为正确命题的序号为：________.答案②④解析函数f(x)＝|x||x－2|的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝|x||x－2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；函数y＝x－1的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确；因为A∪B＝A，所以B⊆A，若B＝∅，满足B⊆A，这时a＝0；若B≠∅，由B⊆A，得a＝－1或a＝13.因此，满足题设的实数a的取值集合为－1，0，13，即命题③不正确．依据映射的定义知，命题④正确．三、解答题3．已知集合A＝{x|－2x－1或x0}，B＝{x|a≤x≤b}，满足A∩B＝{x|0x≤2}，A∪B＝{x|x－2}．求a、b的值．解将集合A、A∩B，A∪B分别在数轴上表示，如图所示由A∩B＝{x|0x≤2}，知b＝2且－1≤a≤0.由A∪B＝{x|x－2}知－2a≤－1.综上可知：a＝－1，b＝2.4．设全集U＝R，A＝{x|x1}；B＝{x|x＋a0}，且B∁UA，求实数a的取值范围．解∵U=R，A={x|x1}，∴∁UA={x|x≤1}．∵x+a0，x-a，∴B={x|x-a}．又∵B∁UA，∴-a≤1，∴a≥-1.5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．解集合A是关于x的方程的解集．至多有一个真子集的集合有两种情况：一是恰有一个真子集，二是没有真子集，即集合A为空集．若A＝∅，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，则a≠0，且Δ＝4－4a0，解得a1.若集合A恰有一个真子集，这时集合A必为单元素集．可分为两种情况：(1)a＝0时，方程为2x＋1＝0，x＝－12；(2)a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1.综上，当集合A至多有一个真子集时，实数a的取值范围为a≥1或a＝0.6．已知f(x)＝x2－2x＋4，x－1，－2x＋5，－1≤x1，3，x≥1，(1)求：f(－2)，f(0)，f(1)，f(4)；(2)画出函数图象；(3)指出函数的值域．解2x，x≠0，x∈R；＝－2包含在区间(－∞，－1)中，∴f(－2)＝(－2)2－2(－2)＋4＝12.x＝0包含在区间[－1,1)中，∴f(0)＝5.x＝1包含在区间[1，＋∞)中，∴f(1)＝3.x＝4包含在区间[1，＋∞)中，∴f(4)＝3.(2)如图所示(3)由图象知，函数的值域为[3，+∞)．7．已知函数f(x)＝x＋mx，且f(1)＝2，(1)判断f(x)的奇偶性；(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的增减性，并证明；(3)若f(a)2，求a的取值范围．解(1)∵f(1)＝2，∴f(1)＝1＋m＝2，∴m＝1，∴f(x)＝x＋1x，则f(－x)＝－x＋1－x＝－x＋1x＝－f(x)，又f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，∴函数f(x)是奇函数．(2)设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝x1－x2＋1x1－1x2＝x1－x2＋x2－x1x1x2＝(x2－x1)1x1x2－1＝(x2－x1)(1－x1x2)x1x2.∵1x1x2，∴x2－x10，x1x20，x1x21，∴1－x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(3)同理可证f(x)在(0,1)上是减函数，由于函数是奇函数，可得简图．∵f(a.)2，即f(a.)f(1)，∴a.1或0a.1，∴a的取值范围是(0,1)∪(1，+∞)．