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当前位置:首页 > 行业资料 > 冶金工业 > 【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》高考题型冲刺练穿插滚动练(四)
穿插滚动练(四)内容:不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量(文科为立体几何)一、选择题1.设集合A={1,4,x},B={1,x2}且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析由题意可知x2=4或x2=x,解得x=±2或x=0或x=1,又x≠1,∴x=0,±2,答案为C.2.若等比数列{an}的前n项和Sn=a·3n-2,则a2等于()A.4B.12C.24D.36答案B解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2a·3n-1,又a1=a·31-2=3a-2,由等比数列定义,a2=qa1,∴6a=3·(3a-2),∴a=2.因此a2=2a·32-1=12.3.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()A.f(b)f(c)f(d)B.f(b)f(a)f(e)C.f(c)f(b)f(a)D.f(c)f(e)f(d)答案C解析由f′(x)的图象得,当x∈(-∞,c)时,f′(x)0;当x∈(c,e)时,f′(x)0;当x∈(e,+∞)时,f′(x)0.因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,又abc,所以f(c)f(b)f(a).故选C.4.(2012·辽宁)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.|a|=|b|D.a+b=a-b答案B解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解.因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,故a⊥b.5.已知α,β表示两个不同的平面,m是一条直线且m⊂α,则:“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析若m⊥β,因m是一条直线且m⊂α,由面面垂直的判定定理,知α⊥β,反之,若m是一条直线且m⊂α,当α⊥β时,m与平面β的位置关系可以为:相交或平行或m⊂β,故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件,选B.6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为23,它的三视图中的俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是()A.4B.23C.2D.3答案B解析由题意可设棱柱的底面边长为a,则其体积为34a2·a=23,得a=2.由俯视图易知,三棱柱的侧视图是以2为长,3为宽的矩形.∴其面积为23.故选B.7.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A—BCD,则在三棱锥A—BCD中,下列命题正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC答案D解析由题意知,在四边形ABCD中,CD⊥BD.在三棱锥A—BCD中,平面ABD⊥平面BCD,两平面的交线为BD,所以CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD,AD∩DC=D,所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC.8.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为()A.1B.33C.3D.233答案B解析由三视图可知,此几何体为三棱锥,如图,其中正视图为△PAC,是边长为2的正三角形,PD⊥平面ABC,且PD=3,底面△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=2,所以体积为V=13×3×12×2×2=33,故选B.9.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a0,且a≠1,下面正确的运算公式是()①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.①②B.③④C.①④D.②③答案B解析经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y),综上所述,选B.10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cosB=14,sinCsinA=2,且S△ABC=154,则b的值为()A.4B.3C.2D.1答案C解析依题意得,c=2a,b2=a2+c2-2accosB=a2+(2a)2-2×a×2a×14=4a2,所以b=c=2a,sinB=1-cos2B=154,又S△ABC=12acsinB=12×b2×b×154=154,所以b=2,选C.11.变量x,y满足约束条件x+2y≥22x+y≤44x-y≥-1,则目标函数z=3x-y的取值范围是()A.[-32,6]B.[-32,-1]C.[-1,6]D.[-6,32]答案A解析作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示,作直线3x-y=0,并向上、下平移,由图可得,当直线过点A时,z=3x-y取最大值;当直线过点B时,z=3x-y取最小值.由x+2y-2=02x+y-4=0,解得A(2,0);由4x-y+1=02x+y-4=0,解得B(12,3).∴zmax=3×2-0=6,zmin=3×12-3=-32.∴z=3x-y的取值范围是[-32,6].12.已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4)=-3,且对任意x∈R总有f′(x)3,则不等式f(x)3x-15的解集为()A.(-∞,4)B.(-∞,-4)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(4,+∞)答案D解析方法一(数形结合法):由题意知,f(x)过定点(4,-3),且斜率k=f′(x)3.又y=3x-15过点(4,-3),k=3,∴y=f(x)和y=3x-15在同一坐标系中的草图如图,∴f(x)3x-15的解集为(4,+∞),故选D.方法二记g(x)=f(x)-3x+15,则g′(x)=f′(x)-30,可知g(x)在R上为减函数.又g(4)=f(4)-3×4+15=0,∴f(x)3x-15可化为f(x)-3x+150,即g(x)g(4),结合其函数单调性,故得x4.二、填空题13.函数y=x+2cosx-3在区间[0,π2]上的最大值是________.答案π6解析y′=1-2sinx0⇒sinx12,sinx12时y′0,∴sinx=12时ymax=π6+2×32-3=π6.14.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω0,|φ|π2),y=f(x)的部分图象如图所示,则f(π24)=______.答案3解析由图象可知,此正切函数的半周期等于3π8-π8=π4,即周期为π2,∴ω=2.由2×3π8+φ=kπ,k∈Z,|φ|π2,知φ=π4.由f(0)=1,知A=1.因此f(x)=tan(2x+π4),故f(π24)=tan(2×π24+π4)=tanπ3=3.15.若一个正方体的表面积为S1,其外接球的表面积为S2,则S1S2=________.答案2π解析设正方体棱长为a,则正方体表面积为S1=6a2,其外接球半径为正方体体对角线长的12,即为32a,因此外接球的表面积为S2=4πr2=3πa2,则S1S2=6a23πa2=2π.16.如图所示,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.答案①②③解析∵PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,∴CB⊥AC,CB⊥PA,CB⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC,∴CB⊥AF.又∵E,F分别是点A在PB,PC上的射影,∴AF⊥PC,AE⊥PB,∴AF⊥平面PCB.故①③正确.∴PB⊥平面AEF,故②正确.而AF⊥平面PCB,∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错误.三、解答题17.如图,已知平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.(1)求证:GH∥平面CDE;(2)若CD=2,DB=42,求四棱锥F—ABCD的体积.(1)证明方法一∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC.又EF=AD=BC,∴四边形EFBC是平行四边形,∴H为FC的中点.又∵G是FD的中点,∴HG∥CD.∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,∴GH∥平面CDE.方法二连接EA,∵ADEF是正方形,∴G是AE的中点.∴在△EAB中,GH∥AB.又∵AB∥CD,∴GH∥CD.∵HG⊄平面CDE,CD⊂平面CDE,∴GH∥平面CDE.(2)解∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.∵AD=BC=6,∴FA=AD=6.又∵CD=2,DB=42,CD2+DB2=BC2,∴BD⊥CD.∵S▱ABCD=CD·BD=82,∴VF—ABCD=13S▱ABCD·FA=13×82×6=162.18.函数f(x)=6cos2ωx2+3sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.(1)求ω的值及函数f(x)的值域;(2)若f(x0)=835,且x0∈-103,23,求f(x0+1)的值.解(1)由已知可得,f(x)=3cosωx+3sinωx=23sinωx+π3,又正三角形ABC的高为23,从而BC=4,所以函数f(x)的周期T=4×2=8,即2πω=8,ω=π4.函数f(x)的值域为[-23,23].(2)因为f(x0)=835,由(1)有f(x0)=23sinπx04+π3=835,即sinπx04+π3=45.由x0∈-103,23,知πx04+π3∈-π2,π2,所以cosπx04+π3=1-452=35.故f(x0+1)=23sinπx04+π4+π3=23sinπx04+π3+π4=23sinπx04+π3cosπ4+cosπx04+π3sinπ4=23×45×22+35×22=765.19.已知当x=5时,二次函数f(x)=ax2+bx取得最小值,等差数列{an}的前n项和Sn=f(n),a2=-7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=an2n,求Tn.解(1)由题意得:-b2a=5,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an2+bn-a(n-1)2-b(n-1)=2an+b-a=2an-11a.∵a2=-7,得a=1.∴a1=S1=-9,∴an=2n-11.(2)∵bn=2n-112n,∴Tn=-92+-722+…+2n-112n,①12Tn=-922+…+2n-132n+2n-112n+1,②①-②得12Tn=-92+222+…+22n-2n-112n+1=-92+121-12n-11-12-2n-112n+1=-72-12n-1-2n-112n+1.∴Tn=-7-2n-72n.20.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;(2)若二面角M—BQ—C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.(1)证明连接AC,交BQ于N,连接MN.∵BC∥AD且BC=12AD,即BC綊AQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN∥PA.∵MN⊂平
本文标题:【步步高通用(理)】2014届高三《考前三个月》高考题型冲刺练穿插滚动练(四)
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