【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练选修4-4.1坐标系(人教A版数学理)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。课时提能演练(六十八)1.已知⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别是ρ＝2cosθ和ρ＝2asinθ(a是非零常数).(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为5，求a的值.2.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程.3.(易错题)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离.4.(1)求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程；(2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.5.已知A(－3，4π3)，B(5，－5π6)两点.(1)求A，B两点之间的距离；(2)求△AOB的面积S(其中O为极点).6.(2012·扬州模拟)已知曲线C：x3cosy2sin，直线l：ρ(cosθ－2sinθ)＝12.(1)将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设点P在曲线C上，求P点到直线l距离的最小值.7.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上任意一点，试求RP的最小值.8.已知圆C的极坐标方程ρ＝2asinθ，求：(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)圆C关于直线θ＝3π4对称的圆的极坐标方程.9.(预测题)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.10.在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3，π3)，半径r＝3.(1)求圆C的极坐标方程.(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ＝2QP，求动点P的轨迹方程.答案解析1.【解析】(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ∴⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x.即(x－1)2＋y2＝1.由ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ，∴⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，即x2＋(y－a)2＝a2.(2)⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为12＋a2，即12＋a2＝5，解得a＝±2.2.【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.(1)由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程；同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.(2)方法一：由2222xy4x0xy4y0，解得：11x0y0，22x2y2，即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2).过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x，化为极坐标方程为：ρcosθ＝－ρsinθ，化简得：θ＝3π4.方法二：由2222xy4x0xy4y0两式相减得－4x－4y＝0，即过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x，化为极坐标方程为：ρcosθ＝－ρsinθ，化简得：θ＝3π4.方法三：解方程组4cos4sin，得tanθ＝－1，即θ＝kπ＋3π4，∴直线的极坐标方程为θ＝3π4.3.【解析】方法一：(1)如图，由正弦定理得ρsin2π3＝1sin(π3－θ).即ρsin(π3－θ)＝sin2π3＝32，∴所求直线的极坐标方程为ρsin(π3－θ)＝32.(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝π2，∠OAH＝π3，则OH＝OAsinπ3＝32，即极点到该直线的距离等于32.方法二：(1)直线的斜率为k＝tanπ3＝3，又直线过点A(1,0)，所以直线的点斜式方程为y＝3(x－1)，化为极坐标方程为ρsinθ＝3(ρcosθ－1)，即ρ(sinθ－3cosθ)＝－3，∴2ρsin(θ－π3)＝－3，即ρsin(θ－π3)＝－32，所以ρsin(π3－θ)＝32为所求.(2)由上述可知，极点即坐标原点(0,0)到直线3x－y－3＝0的距离为d＝|0＋0－3|(3)2＋(－1)2＝32.4.【解析】(1)设P(ρ，θ)为圆C上任意一点，圆C交极轴于另一点A，则|OA|＝8，在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|cosθ，即ρ＝8cosθ，这就是圆C的极坐标方程.(2)由r＝|OC|＝4，连接CM.因为M为弦ON的中点，所以CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.所以动点M的轨迹方程是ρ＝4cosθ(不含极点).5.【解析】(1)易得∠AOB＝5π6，∴|AB|＝|OA|2＋|OB|2－2|OA|·|OB|cos5π6＝34＋153(2)由S＝12|OA|·|OB|sin∠AOB，得S＝154.6.【解析】(1)∵ρ(cosθ－2sinθ)＝12，∴ρcosθ－2ρsinθ＝12，∴x－2y－12＝0.(2)设P(3cosθ，2sinθ)，∴d＝|3cosθ－4sinθ－12|5＝55|5cos(θ＋)－12|(其中，cos＝35，sin＝45)，当cos(θ＋)＝1时，dmin＝755，∴P点到直线l的距离的最小值为755.7.【解题指南】由O、M、P三点共线及OM·OP＝12.设出动点P、M的极坐标，然后代入条件等式求解即可.也可以转化为直角坐标方程解决.【解析】方法一：(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，则点M为(ρ0，θ).∵OM·OP＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ.∵M在直线ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ＝4，即12ρcosθ＝4，于是ρ＝3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程.(2)由于点P的轨迹方程为ρ＝3cosθ＝2·32cosθ，所以点P的轨迹是圆心为(32，0)，半径为32的圆(去掉原点).又直线l：ρcosθ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为1.方法二：(1)直线l：ρcosθ＝4的直角坐标方程为x＝4，设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4，y0)，由OP∥OM，得y0＝4yx(x＞0).又OM·OP＝12，则OM2·OP2＝144.∴(x2＋y2)(16＋16y2x2)＝144，整理得x2＋y2＝3x(x＞0)，这就是点P的轨迹的直角坐标方程.(2)由上述可知，点P的轨迹是圆心为(32，0)，半径为32的圆(去掉原点).又点R在直线l：x＝4上，故RP的最小值为1.8.【解析】方法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ).(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为M(ρ，－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ为所求.(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝3π4对称的点为(ρ，3π2－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(3π2－θ)，即ρ＝－2acosθ为所求.方法二：由圆的极坐标方程ρ＝2asinθ，得ρ2＝2ρasinθ，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝x2＋y2，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay.即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，即x2＋y2＝－2ay，∴ρ2＝－2ρasinθ，故ρ＝－2asinθ为所求.(2)由θ＝3π4得tanθ＝－1，故直线θ＝3π4的直角坐标方程为y＝－x，圆x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax.∴ρ2＝－2ρacosθ.此圆的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.9.【解析】(1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cosθ＋32sinθ)＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1.即x＋3y＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)；当θ＝π2时，ρ＝233，所以N(233，π2).(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为(0，233).所以P点的直角坐标为(1，33)，则P点的极坐标为(233，π6).所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R).10.【解析】(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点，在△OCM中，∠COM＝|θ－π3|，由余弦定理，得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cos∠COM.∴32＝ρ2＋32－2×3×ρcos(θ－π3).即ρ＝6cos(θ－π3)为所求.(2)设点Q为(ρ1，θ1)，点P为(ρ，θ)，由OQ＝2QP，得OQ＝2(OP－OQ).∴OQ＝23OP，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，代入圆ρ＝6cos(θ－π3)方程得23ρ＝6cos(θ－π3)，即ρ＝9cos(θ－π3)为所求.