【考点训练】第19章四边形19.3梯形直角梯形-1

中学生习题网【考点训练】直角梯形-2一、选择题（共5小题）1．（2010•黄石）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，则AD的长为（）A．B．2C．3D．2．（2011•潍坊）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．CP平分∠BCDB．四边形ABED为平行四边形C．CQ将直角梯形分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形3．（2010•双鸭山）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，AD=DC=2，则BC的长为（）A．B．4C．3D．24．（2010•武汉）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：①BH=DH；②CH=；③．其中正确的是（）A．①②③B．只有②③C．只有②D．只有③5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：中学生习题网①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．其中结论正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD=_________．7．（2011•鄂尔多斯）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．8．（2011•福州）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C=_________度．三、解答题（共3小题）（选答题，不自动判卷）9．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请写出必要的推理过程；（2）△CED是不是直角三角形？请说明理由；（3）若已知AD=6，AB=14，请求出请求出△CED的面积．中学生习题网10．（2013•河南）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）填空：①当t为_________s时，四边形ACFE是菱形；②当t为_________s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．11．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的长和宽．中学生习题网【考点训练】直角梯形-2参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．（2010•黄石）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，则AD的长为（）A．B．2C．3D．考点：直角梯形．1528144分析：设所求边AD=x，利用勾股定理求AC，再根据条件证明△ABC∽△DCA，利用相似三角形对应边的比相等，列方程求x即可．解答：解：设AD=x，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵∠ADC=∠BAC=90°，∴△ABC∽△DCA，∴=，即=，解得x=3（舍去负值），即AD=3，故选C．点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质在梯形中的运用．2．（2011•潍坊）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF．则下列结论不正确的是（）A．CP平分∠BCDB．四边形ABED为平行四边形C．CQ将直角梯形分为面积相等的两部分D．△ABF为等腰三角形考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．1528144专题：证明题；几何综合题；压轴题．分析：本题可用排除法证明，即证明A、B、D正确，C不正确；易证△BCF≌△DCE（SAS），得∠FBC=∠EDC，中学生习题网∴△BPE≌△DPF，∴BP=DP；∴△BPC≌△DPC，∴∠BCP=∠DCP，∴A正确；∵AD=BE且AB∥BE，所以，四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；解答：解：易证△BCF≌△DCE（SAS），∴∠FBC=∠EDC，BF=ED；∴△BPE≌△DPF（AAS），∴BP=DP，∴△BPC≌△DPC（SSS），∴∠BCP=∠DCP，即A正确；又∵AD=BE且AD∥BE，∴四边形ABED为平行四边形，B正确；∵BF=ED，AB=ED，∴AB=BF，即D正确；综上，选项A、B、D正确．故选C．点评：本题考查了等腰三角形、平行四边形和全等三角形的判定，熟记以上图形的性质，并能灵活运用其性质，是解答本题的关键，本题综合性较好．3．（2010•双鸭山）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，AD=DC=2，则BC的长为（）A．B．4C．3D．2考点：直角梯形．1528144分析：根据题意作图过点D作DE⊥BC于点E，可把直角梯形分为矩形ABED和直角三角形DEC，分别根据矩形的性质和直角三角形的特性求得BE，EC的长，求和即可．解答：解：过点D作DE⊥BC于点E∵AD∥BC，∠ABC=90°∴∠A=90°∵DE⊥BC∴∠DEB=90°∴四边形ABED是矩形，BE=AD=2∵∠C=60°，DC=2∴EC=DC=∴BC=BE+EC=2+=3．故选C．点评：在解决有关直角梯形问题时，常常通过作辅助线的方法转化为矩形和直角三角形的问题来求解．作底边上的高是常用的方法之一．4．（2010•武汉）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．下列结论：①BH=DH；②CH=；③．其中正确的是（）中学生习题网A．①②③B．只有②③C．只有②D．只有③考点：直角梯形．1528144专题：压轴题．分析：①如图，过H作HM⊥BC于M，根据角平分线的性质可以得到DH=HM，而在Rt△BHM中BH＞HM，所以容易判定①是错误的；②设HM=x，那么DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以证明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以证明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性质可以推出∠BEH=∠DHC，然后利用对顶角相等即可证明∠BHC=∠BEH，接着得到BH=BE，然后即可用x分别表示BE、EN、CD，又由EN∥DC可以得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性质即可结论②；③利用（2）的结论可以证明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明结论③．解答：解：①如图，过H作HM⊥BC于M，∵CE平分∠BCD，BD⊥DC∴DH=HM，而在Rt△BHM中BH＞HM，∴BH＞HD，∴所以容易判定①是错误的；②∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，∴∠BEH=∠DHC，而∠DHC=∠EHB，∴∠BEH=∠EHB，∴BE=BH，设HM=x，那么DH=x，∵BD⊥DC，BD=DC，∴∠DBC=∠ABD=45°，∴BH=x=BE，∴EN=x，∴CD=BD=DH+BH=（+1）x，即=+1，∵EN∥DC，∴△DCH∽△NEH，∴=+1，即CH=（+1）EH；③由②得∠BEH=∠EHB，∵EN∥DC，∴∠ENH=∠CDB=90°，∴∠ENH=∠EBC，中学生习题网∴△ENH∽△CBE，∴EH：EC=NH：BE，而，∴．所以正确的只有②③．故选B．点评：此题比较复杂，综合性很强，主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质．5．（2009•武汉）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上一点，∠BCE=15°，且AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE为等边三角形；③=2；④．其中结论正确的是（）A．只有①②B．只有①②④C．只有③④D．①②③④考点：全等三角形的判定；等边三角形的判定；直角梯形．1528144专题：压轴题．分析：根据题意，对选项进行一一论证，排除错误答案．解答：解：由题意可知△ACD和△ACE全等，故①正确；又因为∠BCE=15°，所以∠ACE=45°﹣15°=30°，所以∠ECD=60°，所以△CDE是等边三角形，故②正确；∵AE=AE，△ACD≌△ACE，△CDE是等边三角形，∴∠EAH=∠ADH=45°，AD=AE，∴AH=EH=DH，AH⊥DE，假设AH=EH=DH=x，∴AE=x，CE=2x，∴CH=x，∴AC=（1+）x，∵AB=BC，∴AB2+BC2=[（1+）x]2，解得：AB=x，中学生习题网BE=x，∴==，故③错误；④∵Rt△EBC与Rt△EHC共斜边EC，∴S△EBC：S△EHC=（BE×BC）：（HE×HC）=（EC×sin15°×EC×cos15°）：（EC×sin30°×EC×cos30°）=（EC×sin30°）：（EC×sin60°）=EC：EC=1：=EH：CH=AH：CH，故④正确．故其中结论正确的是①②④．故选B．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，则CD=3．考点：直角梯形．1528144专题：压轴题．分析：过点D作DE⊥BC于E，则易证四边形ABED是矩形，所以AD=BE=1，进而求出CE的值，再解直角三角形DEC即可求出CD的长．解答：解：过点D作DE⊥BC于E．∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD=BE=1，∵BC=4，∴CE=BC﹣BE=3，∵∠C=45°，∴cosC==，∴CD=3．故答案为3．中学生习题网点评：此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值，此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．（2011•鄂尔多斯）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点，则PC+PD的最小值为7．考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形．1528144专题：压轴题．分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．解答：解：延长CB到E，使EB=CB=8，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP=AD：BE=6：8=3：4，∴PB=AP，∵AP+BP=AB=7，∴AP=3，BP=4，∴PD===3，PE==4，∴DE=PD+PE=7，∴PC+PD的最小值是7，故答案为：7．点评：此题考查了轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，