【解析版】广东省广州市执信中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

1页【解析版】广东省广州市执信中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线的倾斜角为（）A．B．C．D．考点：直线的倾斜角．专题：计算题．分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．解答：解：因为直线的斜率是，直线的倾斜角为θ，所以tan，所以．故选B．点评：本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，基本知识的考查．2．（5分）（2007•广州模拟）已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a+b表示（）A．向东南航行kmB．向东南航行2kmC．向东北航行kmD．向东北航行2km考点：向量的加法及其几何意义．专题：阅读型．分析：本题充分体现向量的大小和方向两个元素，根据实际意义知道两个向量的和向量方向是东南方向，大小可以用勾股定理做出．解答：解：∵向量表示“向东航行1km”，向量表示“向南航行1km”，由向量加法的几何意义知两个向量的和是向东南航行km，故选A．点评：本题考查向量的几何意义，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．3．（5分）已知全集U=R，集合，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥2}D．{x|x＜0}考点：指数函数单调性的应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由偶次根号下被开方数大于等于零得，x2﹣2x≥0求出解集集合A，再由指数函数的性质求出B，再由交集运算求解即可．解答：解：对于A、由x2﹣2x≥0得，x≤0或x≥2，∴A={x|x≤0或x≥2}，2页对于B、y=2x＞0，∴B={y|y＞0}，∴A∩B={x|x≥2}，故选C．点评：本题考查了指数函数的性质，函数定义域的求法，二次不等式的求法，注意集合主的元素特征．4．（5分）已知等比数列{an}中，公比q＞0，若a2=4，则a1+a2+a3有（）A．最小值﹣4B．最大值﹣4C．最小值12D．最大值12考点：等比数列的通项公式；二次函数的性质．专题：计算题．分析：等比数列{an}中，由公比q＞0，a2=4，知a1+a2+a3==4（q+）+4≥4×2+4=12，所以a1+a2+a3有最小值12．解答：解：等比数列{an}中∵公比q＞0，a2=4，∴a1=，a3=4q，∴a1+a2+a3==4（q+）+4≥4×2+4=12当且仅当q=，即q=1时取等号（因为q＞0故q=﹣1舍去）所以a1+a2+a3有最小值12．故选C．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．5．（5分）（2009•上海）过点P（0，1）与圆x2+y2﹣2x﹣3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（）A．x=0B．y=1C．x+y﹣1=0D．x﹣y+1=0考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：圆的直径所在直线符合题意，求出辞职显得斜率，用点斜式求直线的方程．解答：解：易知圆的直径所在直线符合题意，由圆心为O（1，0）且过点P（0，1），故直线的斜率，则根据点斜式方程为y﹣1=﹣1（x﹣0），即x+y﹣1=0，故选C．点评：本题考查用点斜式求求直线方程，判断圆的直径所在直线符合题意是解题的突破口．6．（5分）若不等式ax2+bx+2＜0的解集为{x|x＜﹣，或x＞}，则的值为（）3页A．B．C．﹣D．﹣考点：一元二次不等式的解法；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据已知不等式的解集得到方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与，利用韦达定理求出﹣，将所求式子变形后代入计算即可求出值．解答：解：由题意得：方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与，∴﹣=﹣+=﹣，则=1﹣=1﹣=．故选A点评：此题考查了一元二次不等式的解法，其中根据题意得出方程ax2+bx+2=0的两根为﹣与是解本题的关键．7．（5分）下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，2）内单调递增的是（）A．B．y=ex﹣e﹣xC．y=xsinxD．y=tanx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：分别判断函数是否是奇函数，且为递增函数．解答：解：A的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以A为非奇非偶函数，所以A不满足条件．B．函数的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣（ex﹣e﹣x）=﹣f（x）为奇函数，又函数y=ex为增函数，y=e﹣x为递减函数，所以y=ex﹣e﹣x为增函数，所以B满足条件．C．为偶函数，所以C不满足条件．D．为奇函数，但当x=时，函数无意义，所以D不满足条件．故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．8．（5分）（2008•广州一模）直线ax﹣y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不确定考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系．解答：解：直线ax﹣y+2a=0恒过定点（﹣2，0），而（﹣2，0）满足22+02＜9，所以直线与圆相交．故选B．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，判断关系的方法是点在圆的内部与外部或圆上是解题的关键．9．（5分）（2012•浙江）设，是两个非零向量（）4页A．若|+|=||﹣||，则⊥B．若⊥，则|+|=||﹣||C．若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λD．若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：通过向量特例，判断A的正误；利用向量的垂直判断矩形的对角线长度相等，判断B的正误；通过特例直接判断向量共线，判断正误；通过反例直接判断结果不正确即可．解答：解：对于A，，，显然|+|=||﹣||，但是与不垂直，而是共线，所以A不正确；对于B，若⊥，则|+|=|﹣|，矩形的对角线长度相等，所以|+|=||﹣||不正确；对于C，若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ，例如，，显然=，所以正确．对于D，若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||﹣||，例如，显然=，但是|+|=||﹣||，不正确．故选C．点评：本题考查向量的关系的综合应用，特例法的具体应用，考查计算能力．10．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…xn，使得==…=，则n的取值范围为（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{3，4，5}考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由图形可知：函数y=f（x）与y=kx（k＞0）可有2，3，4个交点，即可得出答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，5页故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：正确理解斜率的意义、函数交点的意义及数形结合的思想方法是解题的关键．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答卷的相应位置．11．（5分）已知等差数列{an}的前三项依次为a﹣1，2a+1，a+4，则a=．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{an}的前三项，直接利用等差中项的概念列式计算a的值．解答：解：因为a﹣1，2a+1，a+4是等差数列{an}的前三项，所以有2（2a+1）=（a﹣1）+（a﹣4），解得：a=．故答案为．点评：本题考查了等差数列的概念，考查了等差数列的性质，是基础的概念题．12．（5分）已知两直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，则a=﹣．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：利用斜率都存在的两直线平行，斜率等于，求出a的值．解答：解：∵直线2x﹣y+1=0与3x+ay=0平行，∴2=﹣﹣解得：a=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．6页13．（5分）从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，其和为3的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率公式求相应的概率即可．解答：解：从0，1，2，3中任意取出两个不同的数，共有种．和为3的有0+3=1+2，共有2种．所以和为3的概率是．故答案为：．点评：本题主要考查古典概率，比较基础．14．（5分）已知角α（0≤α＜2π）的终边过点，则α=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：求出P的坐标，利用任意角的三角函数的定义，求出α的值．解答：解：因为，所以，所以cosα=，sin，0≤α＜2π所以α=．故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，注意三角函数的值与角的象限的关系，考查计算能力．15．（5分）在锐角△ABC中，若A=2B，则的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将A=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB，根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即可得出所求式子的范围．解答：解：∵A=2B，∴根据正弦定理=得：====2cosB，∵A+B+C=180°，∴3B+C=180°，即C=180°﹣3B，∵C为锐角，∴30°＜B＜60°，7页又0＜A=2B＜90°，∴30°＜B＜45°，∴＜cosB＜，即＜2cosB＜，则的取值范围是（，）．故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]⊆D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列三个函数：①；②f（x）=x3；③f（x）=log2x+1则存在“等值区间”的函数的个数是2．考点：进行简单的合情推理；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据“等值区间”的定义，要想说明函数存在“等值区间”，只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“等值区间”，可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．解答：解：①对于函数，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的减函数，故有=a，=b，即（a，b），（b，a）点均在函数图象上，且两点关于y=x对称，两点只能同时是函数，与函数图象的唯一交点．即只能是a=b，故①不存在“等值区间”．②对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如x∈[0，1]时，f（x）=x3∈[0，1]．③对于f（x）=log2x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．存在“等值区间”的函数的个数是2个故答案为：2点评：本题给出函数“稳定区间”的概念，要我们在几个函数中找出存在“稳定区间”函数的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的定义域与值域等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC8页的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A