【解析版】广东省梅州市2013届高考一模数学文试题

2013年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（50分）1．（5分）（2013•梅州一模）设i是虚数单位，复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．3797161专题：计算题．分析：化简复数的值为+i，它对应的点的坐标为（，），从而得出结论．解答：解：∵复数==+i，它对应的点的坐标为（，），故选A．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）（2013•梅州一模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，集合B=（﹣2，2），则A∩B为（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，3）D．（﹣2，2）考点：交集及其运算．3797161分析：先将A化简，再求A∩B．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}=（﹣1，3）∵B={﹣2，2}，∴A∩B=（﹣1，2）故选：A．点评：集合的运算经常考查，本题主要是考查交集的运算，可以借助数轴来帮助解决．3．（5分）（2013•梅州一模）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的偶函数是（）A．y=cosxB．y=x3C．y=D．y=ex+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．3797161专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性及单调性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：y=cosx是偶函数，但在（0，+∞）上有增有减，故排除A；y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数，故排除B；y=y=是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=ex+e﹣x是偶函数，由于y′=ex﹣e﹣x，在（0，+∞）上，y′＞0，故其在（0，+∞）上单调递增的；正确．故选D．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．4．（5分）（2013•梅州一模）下列命题中假命题是（）A．∀x＞0，有ln2x+lnx+1＞0B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．“a2＜b2”是“a＜b”的必要不充分条件D．∃m∈R，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减考点：命题的真假判断与应用．3797161分析：通过换元，因为△=﹣3＜0，判定出t2+t+1＞0，进一步得到ln2x+lnx+1＞0，判定出A正确；通过举反例，判定出B正确C不正确；根据幂函数的定义及单调性，判定出D正确解答：解：对于A，令lnx=t则ln2x+lnx+1=t2+t+1，因为△=﹣3＜0，所以t2+t+1＞0，所以ln2x+lnx+1＞0，所以A正确；对于B，当，时，有cos（α+β）=cosα+cosβ，所以∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ，所以B正确；对于C，例如a=﹣2，b=1满足“a＜b”推不出“a2＜b2”，所以“a2＜b2”不是“a＜b”的必要不充分条件，所以C不正确；对于D，使是幂函数，且在（0，+∞）上递减，需要所以m=2，所以D正确故选C点评：本题考查解决选择题常用的一个方法：举反例；考查换元的数学方法，属于一道基础题．5．（5分）（2013•梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．3797161专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可．解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3，∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3，∴a=．故选C．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力6．（5分）（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？考点：程序框图．3797161分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：KS是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）（2013•梅州一模）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．3797161分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，是其图象的一条对称轴方程．故选A．点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．8．（5分）（2013•梅州一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或考点：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．3797161专题：计算题．分析：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．解答：解：依题意可知m==±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．9．（5分）（2008•山东）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1D．考点：圆的标准方程．3797161专题：压轴题．分析：设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．解答：解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．点评：本小题主要考查圆与直线相切问题．还可以数形结合，观察判定即可．10．（5分）（2013•梅州一模）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2]B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣，+∞）考点：函数零点的判定定理．3797161专题：压轴题；新定义．分析：由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．解答：解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即解得﹣＜m≤﹣2，故选A．点评：本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（20分）（一）必做题（9-13题）11．（5分）（2013•梅州一模）设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=．考点：等比数列的前n项和．3797161专题：计算题．分析：由等比数列的通项公式及求和公式可得==代入可求解答：解：∵q=2∴====故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题．12．（5分）（2013•梅州一模）在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x9905M10.511销售量y11N865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n=10．考点：线性回归方程．3797161专题：应用题．分析：先求出横标和纵标的平均数，把所求的平均数代入方程中，得出m，n的关系式，题目中给出m+n=20，只要代入求解即可得到结果．解答：解：=（9+9.5+m+10.5+11）=（40+m），=（11+n+8+6+5）=（30+n）∵其线性回归直线方程是：，∴（30+n）=﹣3.2×（40+m）+40，即30+n=﹣3.2（40+m）+200，又m+n=20，解得m=n=10故答案为：10．点评：本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．13．（5分）（2013•梅州一模）设x，y满足，则z=x+y﹣3的最小值为﹣1．考点：简单线性规划．3797161专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=x+y﹣3对应的直线进行平移，可得当x=2且y=0时，目标函数z取得最小值﹣1．解答：解：作出不等式组中相应的三条直线对应的图象，如图所示可得点A（2，0）是直线2x+y=4与x﹣2y=2的交点，点B（0，﹣1）是直线x﹣y=1与x﹣2y=2的交点，点C（，）直线2x+y=4与x﹣y=1的交点，不等式组表示的平面区域是位于直线BC的下方、AC的右方，且位于直线AB上方的区域设z=F（x，y）=x+y﹣3，将直线l：z=x+y﹣3进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，0）=2+0﹣3=﹣1故答案为：﹣1点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y﹣3的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14．（5分）（2013•梅州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是1．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．3797161专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离减去半径即得所求．解答：解：圆ρ=2即x2+y2=4，圆心为（0，0），半径等于2．直线=3即ρsinθ+ρcosθ=6即y+x﹣6=0，圆心到直线的距离等于=3，故圆上的点到直线的距离的最小值为3﹣2=1，故答案为1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15．（2013•梅州一模）（几何证明选讲选做题）如图⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA=30°，则BP=3cm．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．3797161专题：直线与圆．分析：利用切线的性质可得OC⊥PC．利用直角三角形的边角关系可得，进而即可得出．解答：解：连接OC，∵CP与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP．∵OC=3，∠CPA=30°，∴==6．∴BP=OP﹣OB=6﹣3=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．三、解答题（80分）16．（12分）（2013•梅州一模）已知△ABC的内角A，