【解析版】江苏省扬州中学2012-2013学年高二(下)期末数学试卷

2012-2013学年江苏省扬州中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）函数f（x）=cos2x的最小正周期为π．考点：三角函数的周期性及其求法．3259693专题：计算题．分析：由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．解答：解：f（x）=cos2x，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．2．（5分）复数的虚部是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．3259693专题：计算题．分析：根据复数的除法法则计算即可．解答：解：==，所以复数的虚部是．故答案为：．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．3．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=﹣﹣+．考点：空间向量的加减法．3259693专题：平面向量及应用．分析：由向量加法的三角形法则，得到=，再由向量加法的三角形法则，，最后利用相反向量即得到结论．解答：解：向量加法的三角形法则，得到===﹣﹣+=﹣﹣+．故答案为：﹣﹣+．点评：本题考查的知识点是向量的三角形法则，要将未知向量用已知向量表示，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．4．（5分）△ABC中，“A=”是“sinA=”的充分不必要条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3259693专题：三角函数的求值．分析：根据A=可以判断sinA=，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件．解答：解：若A=，根据三角函数的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，当sinA=，比如sin=，显然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．5．（5分）幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．考点：幂函数的性质．3259693专题：函数的性质及应用．分析：把幂函数y=xα的图象经过的点（2，）代入函数的解析式，求得α的值，即可得到函数解析式，从而求得f（4）的值．解答：解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，∴f（4）=4=2，故答案为2．点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求函数的值，属于基础题．6．（5分）五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有96（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．3259693专题：计算题．分析：先排甲，有4种方法；再排其它的4人，有种方法，依据分步计数原理求得所有的排法．解答：解：先排甲，有4种方法；再排其它的4人，有种方法．根据分步计数原理，共有4=96种不同的方法，故答案为96．点评：本题主要考查分步计数原理的应用，注意特殊元素优先排，属于中档题．7．（5分）如果复数z满足|z﹣i|=2，那么|z+1|的最大值是2．考点：复数求模．3259693专题：计算题．分析：设z=x+yi（x，y∈R），由复数的几何意义可知复数z对应点的轨迹为以A（0，1）为圆心，2为半径的圆，再借助|z+1|的几何意义可求其最大值．解答：解：设z=x+yi（x，y∈R），由|z﹣i|=2，知复数z对应点的轨迹为以A（0，1）为圆心，2为半径的圆，图形如下所示：|z+1|表示复数z对应的点到N（﹣1，0）的距离，易知该距离的最大值为|MN|的长，|MN|=．故答案为：2+．点评：本题考查复数求模、复数的几何意义，属基础题，正确理解复数的几何意义是解决该题的关键．8．（5分）函数的单调递增区间是（0，e）．考点：利用导数研究函数的单调性．3259693专题：计算题．分析：求出函数的导数为y′的解析式，令y′＞0求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．解答：解：由于函数的导数为y′=，令y′＞0可得lnx＞1，解得0＜x＜e，故函数的单调递增区间是（0，e），故答案为（0，e）．点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．9．（5分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式．3259693专题：概率与统计．分析：根据所给的条件可知该学生在路上遇到2次红灯，符合独立重复试验，根据独立重复试验公式可得结论．解答：解：由题意，∵这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min∴该学生在路上遇到2次红灯，∴所求概率为P==故答案为：点评：本题考查概率知识，考查独立重复试验公式，考查学生的计算能力，属于中档题．10．（5分）若（1﹣2x）2013=a0+a1x+a2x+…+（x∈R），则=﹣1．考点：二项式定理的应用．3259693专题：计算题．分析：把x=0代入已知的式子可得a0=1，把x=代入已知的式子可得：0=a0+，计算可得答案．解答：解：由题意把x=0代入已知的式子可得：1=a0，即a0=1，把x=代入已知的式子可得：0=a0+，故可得=0﹣a0=﹣1，故答案为：﹣1点评：本题考查二项式定理的应用，给式中的x赋值是解决问题的关键，属中档题．11．（5分）E，F是等腰直角△ABC斜边BC上的四等分点，则tan∠EAF=．考点：数量积表示两个向量的夹角．3259693专题：计算题．分析：根据题意和等腰直角三角形的性质求出∠EAF与∠EAO的关系，再求出tan∠EAO，根据倍角的正切公式求出tan∠EAF．解答：解：根据题意画出图形：点O是BC的中点，∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=AB，E，F是斜边BC上的四等分点，∴EO=AO，∠EAF=2∠EAO，则在RT△AEO中，tan∠EAO==，∴tan∠EAF===，故答案为：．点评：本题考查了倍角的正切公式应用：求值，关键找到角之间的关系，属于基础题．12．（5分）函f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R上的部分图象如图所示，则f（x）=4sin（）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．3259693专题：三角函数的图像与性质．分析：由最大值可得A，由周期T=2[5﹣（﹣1）]=12可求ω，根据f（﹣1）=0及0≤φ＜2π可得φ．解答：解：由最大值得A=4，T=2[5﹣（﹣1）]=12，则，ω=，f（x）=4sin（x+φ），由f（﹣1）=0，得4sin（﹣+φ）=0，又0≤φ＜2π，所以φ=，所以f（x）=4sin（x+），故答案为：4sin（x+）．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式，考查数形结合思想，属中档题．13．（5分）已知函数y=f（x）（x∈（0，2））的图象是如图所示的圆C的一段圆弧．现给出如下命题：①f′（1）=0；②f′（x）≥0；③f′（x）为减函数；④若f′（a）+f′（b）=0，则a+b=2．其中所有正确命题的序号为①③④．考点：命题的真假判断与应用．3259693专题：导数的概念及应用．分析：对于①根据导数的几何意义，f′（1）表示函数f（x）在x=1处切线的斜率，由图可知其正确性；对于②由于函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，根据导数的符号与单调性的关系知②不正确；对于③根据导数的几何意义，f′（x）表示函数f（x）在点（x，y）处切线的斜率，切线的斜率从正数→0→负数，且是渐渐变大的，从而进行判断；对于④若f′（a）+f′（b）=0，说明点x=a与x=b关于直线x=1对称，结合中点坐标公式可得结果．解答：解：①根据导数的几何意义，f′（1）表示函数f（x）在x=1处切线的斜率，由图可知，函数f（x）在x=1处切线平行于x轴，故f′（1）=0，正确；②由于函数f（x）在区间（1，2）上是减函数，故当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，故②不正确；③根据导数的几何意义，f′（x）表示函数f（x）在点（x，y）处切线的斜率，由图可知，切线的斜率从正数→0→负数，且是渐渐变大的，故f′（x）为减函数，正确；④若f′（a）+f′（b）=0，说明点x=a与x=b关于直线x=1对称，由中点坐标公式得，则a+b=2，正确．故答案为：①③④．点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要熟练掌握导函数的图象和性质．14．（5分）（2010•南通模拟）有n个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为．考点：等比数列的前n项和．3259693分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为Tn，则Tn=1+2+…+（n﹣1）=故答案为：点评：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2010•南京三模）已知A为锐角，，求cos2A及tanB的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．3259693专题：计算题．分析：先根据二倍角公式，利用sinA求得cos2A．利用同角三角函数基本关系，利用sinA求得tanA，进而根据tanB=tan[A﹣（A﹣B）]利用正切的两角和公式求得答案．解答：解：cos2A=1﹣2sin2A=1﹣×2=∵A为锐角，sinA=∴tanA==∴tanB=tan[A﹣（A﹣B）]===2点评：本题主要考查同角三角函数基本关系，正切的两角和公式，及二倍角的余弦．三角函数基本关系多，复杂，平时应注意多积累．16．（14分）已知函数，m∈R．（1）若，求证：函数f（x）是R上的奇函数；（2）若函数f（x）在区间（1，2）没有零点，求实数m的取值范围．考点：函数零点的判定定理；函数奇偶性的判断．3259693专题：导数的综合应用．分析：（1）利用奇函数的定义，考察f（﹣x）=﹣f（x）或f（x）+f（﹣x）=0在定义域内是否恒成立，若是则为奇函数，否则不是奇函数．（2）求导函数，确定f（x）的单调性，要使函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，先考察其对立面即在区间（1，2）恰有一个零点时m的取值范围，最后由此求补集即可求得所求实数m的取值范围．解答：解：（1）定义域为R关于原点对称．因为f（x）+f（﹣x）=+=+=0，所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．（2）f'（x）=﹣＜0，∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0即（m+）（m+）＜0解之得﹣＜m＜﹣，故函数f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥﹣或m≤﹣…（14分）点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的解，属于中档题．17．（14分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范