【高三总复习】2013高中数学技能特训2-8导数的实际应用(人教B版)含解析

2-8导数的实际应用基础巩固强化1.(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.3VB.32VC.34VD．23V[答案]C[解析]设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝34a2h，∴h＝4V3a2，表面积S＝32a2＋3ah＝32a2＋43Va，由S′＝3a－43Va2＝0，得a＝34V，故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R.当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x0)．令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A.abB.a2bC.baD.b2a[答案]C[解析]如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·VπR2＝2πaR2＋2bVR，∴y′＝4πaR－2bVR2.令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，2Rh＝ba.(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A.S3πB.3πSC.6πS6πD．3π·6πS[答案]C[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝S－2πr22πr，又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS6π.4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400.则总利润最大时，每年生产的产品产量是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x＞400.令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．5．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033.当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0所以当x＝2033时，V取最大值．6．(2012·保定模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则满足2f(x)x＋1的x的集合为()A．{x|－1x1}B．{x|x1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}[答案]B[解析]令g(x)＝2f(x)－x－1，∵f′(x)12，∴g′(x)＝2f′(x)－10，∴g(x)为单调增函数，∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x1时，g(x)0，即2f(x)x＋1，故选B.7．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案]3m3[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x2)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x2，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案]1.2m[解析]设容器的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x.由3.2－2x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0x1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8，∴高为1.2m时容积最大．8．(文)(2011·北京模拟)若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案](－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)0有实数解，∵x0，∴ax2＋2x－10有实数解．当a≥0时，显然满足；当a0时，只要Δ＝4＋4a0，∴－1a0，综上知a－1.解法2：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意可知f′(x)0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x0在(0，＋∞)内有实数解．即a1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x∈(0，＋∞)时，1x2－2x＝(1x－1)2－1≥－1，∴a－1.(理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，根据这一发现可得：(1)函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为________；(2)计算f(12014)＋f(22014)＋f(32014)＋f(42014)＋…＋f(20132014)＝________.[答案](1)(12，1)(2)2013[解析](1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝12，f(12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(12，1)．(2)f(k2014)＋f(1－k2014)＝f(k2014)＋f(2014－k2014)＝2(k＝1，2，…，1007)，∴f(12014)＋f(22014)＋…＋f(20132014)＝[f(12014)＋f(20132014)]＋[f(22014)＋f(20122014)]＋…＋[f(10062014)＋f(10082014)]＋f(10072014)＝2×1006＋1＝2013.9．某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案]16m8m[解析]解：设场地宽为xm，则长为128xm，因此新墙总长度为y＝2x＋128x(x＞0)，y′＝2－128x2，令y′＝0，∵x0，∴x＝8.因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为8m，长为16m.即当堆料场的长为16m，宽为8m时，可使砌墙所用材料最省．10．(文)某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析]依题意，有xy＋12x·x2＝8，∴y＝8－x24x＝8x－x4(0x42)，于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2×2x2＝32＋2x＋16x，l′＝32＋2－16x2，令l′＝0，即32＋2－16x2＝0，解得x1＝8－42，x2＝42－8(舍去)，当0x8－42时，l′0；当8－42x42时，l′0；所以当x＝8－42时，l取得最小值，此时，x＝8－42≈2.343m，y≈2.828m.即当x约为2.343m，y约为2.828m时，用料最省．(理)已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为多少？[解析]如右图所示，设正四棱柱的底面边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2＝d2，∴x2＝12(d2－h2)．∴球内接正四棱柱的体积为V＝x2·h＝12(d2h－h3)，0hd.V′＝12(d2－3h2)＝0，∴h＝33d.在(0，d)上，函数变化情况如下表：h0，33d33d33d，dV′＋0－V↗极大值↘由上表知体积最大时，球内接正四棱柱的高为33d.能力拓展提升11.已知非零向量a、b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝13x3＋12|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a、b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为()A.12，1B.12，1C.－1，12D.－1，12[答案]D[解析]∵函数f(x)在R上有极值，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a|·|b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ0，∴cosθ12，∴选D.[点评]若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝13x3，f′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．12．如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为()[答案]A[解析]∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.13．函数f(x)＝2x3＋12x2－x＋1的图象与x轴交点个数为________个．[答案]1[解析]f′(x)＝6x2＋x－1＝(3x－1)(2x＋1)，当x－12时，f′(x)0，当－12x13时，f′(x)0，当x13时，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，－12)上单调递增，在(－12，13)上单调递减，在(13