【高三总复习】2013高中数学技能特训5-2等比数列(人教B版)含解析

5-2等比数列基础巩固强化1.(文)(2011·北京朝阳一模)已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和，若a1＝3，a2a4＝144，则S5的值是()A.692B．69C．93D．189[答案]C[解析]由a2a4＝a23＝144得a3＝12(a3＝－12舍去)，又a1＝3，各项均为正数，则q＝2.所以S5＝a11－q51－q＝3×1－321－2＝93.(理)(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{an}中，a5、a95为方程x2＋10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．256B．±256C．64D．±64[答案]D[解析]由韦达定理可得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝(a50)2＝16，故a50＝±4，则a20a50a80＝(a50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1、a＋1、a＋4，则该数列的通项an＝()A．4×(23)n－1B．4×(23)nC．4×(32)nD．4×(32)n－1[答案]D[解析]据前三项可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故等比数列的首项为4，q＝a2a1＝32，故an＝4×(32)n－1.3．(2012·北京文，6)已知数列{an}为等比数列，下面结论中正确的是()A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3＞a1，则a4＞a2[答案]B[解析]本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a10，q0时，a10，a20，a30，所以A错误；而当q＝－1时，C错误；当q0时，由a3a1得a3qa1q，即a4a2，与D项矛盾，所以B项正确．[点评]B选项可证明如下：设{an}的公差为q，则a21＋a23＝a21(1＋q4)≥a21·2q2＝2a22.4．(2011·四川文，9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．45D．44＋1[答案]A[解析]∵an＋1＝3Sn，①∴an＝3Sn－1(n≥2)，②①－②得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an，即an＋1＝4an，∴an＋1an＝4(n≥2)．当n＝2时，a2＝3a1＝3，∴a2a1＝3≠4，∴an为从第2项起的等比数列，且公比q＝4，∴a6＝a2·q4＝3·44.5．(文)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝()A．35B．33C．31D．29[答案]C[解析]运用等比数列的性质a1a4＝a2a3＝2a1⇒a4＝2，①a4＋2a7＝2×54，②由①②得a1＝16，q＝12.∴S5＝16[1－125]1－12＝31.(理)已知数列{an}的前n项的和Sn满足Sn＝2n－1(n∈N*)，则数列{a2n}的前n项的和为()A．4n－1B.13(4n－1)C.43(4n－1)D．(2n－1)2[答案]B[解析]n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，又a1＝S1＝21－1＝1也满足，∴an＝2n－1(n∈N*)．设bn＝a2n，则bn＝(2n－1)2＝4n－1，∴数列{bn}是首项b1＝1，公比为4的等比数列，故{bn}的前n项和Tn＝1×4n－14－1＝13(4n－1)．6．(2012·深圳二调)已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案]C[解析]设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5·a2n－5＝a1q4·a1q2n－6＝22n，即a21·q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒a2n＝(2n)2，∵an0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝1＋2n－12·n＝n2，故选C.7．(文)(2012·泉州五中模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2.若an＝64，则n的值为________．[答案]7[解析]an＝a1qn－1＝2n－1＝64，∴n＝7.(理)等比数列{an}的公比q0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝______.[答案]152[解析]∵an＋2＋an＋1＝6an，∴a3＋a2＝6a1.∵a2＝1，a2·q＋a2＝6a2q，∴q＋1＝6q，∴q2＋q－6＝0，∵q0，∴q＝2，∴a1＝12，a3＝2，a4＝4，∴S4＝12＋1＋2＋4＝152.8．在公差不为零的等差数列{an}中，a1、a3、a7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{an}的通项an＝________.[答案]n＋1[解析]设等差数列首项a1，公差d，则∵a1、a3、a7成等比，∴a23＝a1a7，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，又S7＝7a1＋7×62d＝35d＝35，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝n＋1.9．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案]35[解析]本题考查等比数列及古典概型的知识．等比数列的通项公式为an＝(－3)n－1.所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值．若an≥8，则n为奇数且(－3)n－1＝3n－1≥8，则n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9，共四项满足要求．∴p＝1－410＝35.[点评]直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题．10．(2012·河南豫北六校精英联考)已知等比数列{an}是递增数列，a2a5＝32，a3＋a4＝12.数列{bn}满足bn＝1an.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{nbn}的前n项和Sn.[解析](1)因为数列{an}为等比数列且a2a5＝32，所以a3a4＝32，又a3＋a4＝12，解得：a3＝4，a4＝8，或a3＝8，a4＝4.(由{an}是递增数列知不合题意，舍去)所以q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，即bn＝12n－1.(2)由(1)知，∴nbn＝n2n－1.设Sn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，①则12Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，②由①－②得，12Sn＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－22n－n2n＝2－n＋22n，所以，Sn＝4－n＋22n－1.能力拓展提升11.(文)(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{an}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于()A．2B．4C．8D．16[答案]D[解析]由题意可知，a27＝2(a3＋a11)＝4a7.∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝b27＝a27＝16.(理)(2011·辽宁六校模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子中数值不能确定的是()A.a5a3B.S5S3C.an＋1anD.Sn＋1Sn[答案]D[解析]数列{an}为等比数列，由8a2＋a5＝0，知8a2＋a2q3＝0，因为a2≠0，所以q＝－2，a5a3＝q2＝4；S5S3＝1－q51－q3＝113；an＋1an＝q＝－2；Sn＋1Sn＝1－qn＋11－qn，其值与n有关，故选D.12．(文)已知等比数列{an}的公比q0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是()A．S4a5S5a4B．S4a5S5a4C．S4a5＝S5a4D．不确定[答案]A[解析](1)当q＝1时，S4a5－S5a4＝4a21－5a21＝－a210.(2)当q≠1且q0时，S4a5－S5a4＝a211－q(q4－q8－q3＋q8)＝a21q31－q(q－1)＝－a21q30.[点评]作差，依据前n项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法，应注意对公比分类讨论，请再做下题：已知等比数列{an}中，a10，q0，前n项和为Sn，试比较S3a3与S5a5的大小．[解析]当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3S5a5；当q0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a11－q3a1q21－q－a11－q5a1q41－q＝q21－q3－1－q5q41－q＝－q－1q40，所以有S3a3S5a5.综上可知有S3a3S5a5.(理)(2012·云南省二检)已知等比数列{an}的公比q＝2，它的前9项的平均值等于5113，若从中去掉一项am，剩下的8项的平均值等于14378，则m等于()A．5B．6C．7D．8[答案]B[解析]数列{an}前9项的和为S9＝5113×9＝1533，即a11－291－2＝1533，解得a1＝3.又知am＝S9－14378×8＝96，而am＝3·2m－1，即3·2m－1＝96，解得m＝6.13．已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则ax＋cy＝________.[答案]2[解析]由条件知x＝a＋b2，y＝b＋c2，c＝bq，a＝bq，∴ax＋cy＝2aa＋b＋2cb＋c＝2bqbq＋b＋2bqb＋bq＝21＋q＋2q1＋q＝2.14．(2012·北京东城练习)已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，那么a＝________；若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则an＝________.[答案]25n－3[解析]由已知条件可得ab，aba＋2b，即ab，a－2ba，若a＝2，显然符合条件；若a2，则abaa－2，解得a3，即2a3，即不存在a满足条件，由此可得a＝2.当a＝2时，an＝2＋(n－1)b，bn＝b×2n－1，若存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则b×2n－1＝2＋(m－1)b＋3，即得b×2n－1＝bm＋5－b，当b＝5时，方程2n－1＝m总有解，此时an＝5n－3.15．(2012·北京东城练习)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解析](1)证明：因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝43an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为an＝(43)n－1，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝(43)n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋1－43n－11－43＝3·(43)n－1－1(n≥2)，当n＝1时也符合上式，∴bn＝3·(43)n－1－1.16．(文)(2012·吉林省实验中学模拟)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝S2b2.(1)求an与bn；(2)设数列{cn}满足cn＝1Sn，求{cn}的前n项和Tn.[解析](1)设数列{an}的公差为d，∵b2＋S2＝12，q＝S2b2.∴b2＋b2q＝12，∴b1q＋b1q2＝12，