【高考总复习必备】2013年高考数学闯关密练特训10-8离散型随机变量及其概率分布(理)新人教A版(

10-8离散型随机变量及其概率分布(理)闯关密练特训1.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X4)＝0.3，那么()A．n＝3B．n＝4C．n＝10D．n＝9[答案]C[解析]∵P(X4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，∴n＝10.2．(2011·广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88[答案]D[解析]P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝0.88.3．(2011·潍坊质检)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以的比分获胜的概率为()A.827B.6481C.49D.89[答案]A[解析]设甲胜为事件A，则P(A)＝23，P(A)＝13，∵甲以的比分获胜，∴甲前三局比赛中胜2局，第四局胜，故所求概率为p＝C23·(23)2·13·23＝827.4．在15个村庄中有是7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是()A．P(X＝2)B．P(X≤2)C．P(X＝4)D．P(X≤4)[答案]C[解析]C47C68表示选出的10个村庄中有4个交通不方便，6个交通方便，∴P(X＝4)＝C47C68C1015.5．(2011·苏州模拟)甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.6C．0.65D．0.75[答案]D[解析]设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下，A发生的条件概率，∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝PABPB＝0.60.8＝0.75.[来源:学§科§网Z§X§X§K]6．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与B都发生的概率的取值范围是()A．[0，89]B．[19，59]C．[23，89]D．[0，49][答案]D[解析]设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝(1－x)·(1－y)＝19⇒1＋xy＝19＋x＋y≥19＋2xy.当且仅当x＝y时取“＝”，∴xy≤23或xy≥43(舍)，∴0≤xy≤49.∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈[0，49]．7．(2011·荆门模拟)由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替，x、y是0～9的自然数)，其表如下：X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据x＝________，y＝________.[答案]2,5[解析]由于0.20＋0.10＋(0.1x＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01y)＋0.20＝1，得10x＋y＝25，于是两个数据分别为2,5.8．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A，“两颗骰子的点数和大于8”为事件B，则P(B|A)＝________.[答案]512[解析]因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A，“两颗骰子的点数和大于8”的事件为B，用枚举法可知A包含的基本事件为12个，A，B同时发生的基本事件为5个，即(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．所以P(B|A)＝512.9．(2011·西城模拟)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为1,2,3,4,5,6.(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回地抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．[解析](1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种，则所求概率为536.(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率P＝C15C26＝13.所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为C23p2(1－p)＝3×(13)2×(23)＝29.(3)随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6.P(X＝3)＝C22C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝620＝310，P(X＝6)＝C25C36＝1020＝12.所以，随机变量X的分布列为：X3456P1203203101210.(2012·福建，16)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x≤11x≤2x20x≤2x2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．[分析](1)“发生故障”这一事件可表示为“x≤2”；(2)弄清事件“x1＝m”和“x2＝n”的含义，才能求出概率分布列；(3)应该生产利润期望大的轿车．[解析](1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A.[来源:学,科,网]则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X112[来源:学科网]3P125350910X2的分布列为X21.82.9P110910(3)由(2)得，E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．[点评](1)本题主要考查古典概型，互斥事件的概率，离散型随机变量分布列等知识，考查数据处理能力．(2)概率问题的解决关键是弄清随机变量取值时所表示的事件的含义.能力拓展提升11.(2011·安溪模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值是()A.1220B.2755C.27220D.2155[答案]C[解析]P(X＝4)＝C19C23C312＝27220.12．一只不透明的布袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小形状完全一样的小球，现从袋中同时摸出3只小球，用随机变量X表示摸出的3只球中的最大号码数，则随机变量X的数学期望E(X)＝()A.445B.8310C.72D.92[答案]D[解析]X的取值有：3、4、5，P(X＝3)＝1C35＝110，P(X＝4)＝C23C35＝310，P(X＝5)＝C24C35＝35，∴E(X)＝3×110＋4×310＋5×35＝92.13．甲罐中有4个红球，2个白球和4个黑球，乙罐中有6个红球，3个白球和1个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①A1、A2、A3是两两互斥的事件；②事件B与事件A1相互独立；③P(B)＝2755；④P(B|A2)＝611.[答案]①④[解析]①从甲罐中任取一球，当“取出红球”时事件A1发生，此时事件A2，A3一定不会发生，即A1、A2、A3两两互斥，故①正确；②事件A1发生与否，直接影响到事件B的发生，故B与A1相互不独立，故②错误；③P(B)＝P(B·(A1∪A2∪A3))＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝410×711＋210×611＋410×611＝3255，故③错误；④P(B|A2)＝PA2BPA2＝655210＝611，故④正确．14．(2011·通州模拟)亚洲联合馆一与欧洲联合馆一分别位于上海世博展馆的A片区与C片区：其中亚洲联合馆一包括马尔代夫馆、东帝汶馆、吉尔吉斯斯坦馆、孟加拉馆、塔吉克斯坦馆、蒙古馆6个展馆；欧洲联合馆一包括马耳他馆、圣马力诺馆、列支敦士登馆、塞浦路斯馆4个展馆．某旅游团拟从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一共10个展馆中选择4个展馆参观，参观每一个展馆的机会是相同的．(1)求选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆的概率；(2)记X为选择的4个展馆中包含有亚洲联合馆一的展馆的个数，求X的分布列．[解析](1)旅游团从亚洲联合馆一与欧洲联合馆一中的10个展馆中选择4个展馆参观的总结果数为C410＝210，记事件A为选择的4个展馆中恰有孟加拉馆与列支敦士登馆，依题意可知我们必须再从剩下的8个展馆中选择2个展馆，其方法数是C28＝28，所以P(A)＝28210＝215.(2)根据题意可知X可能的取值是0,1,2,3,4.X＝0表示只参观欧洲联合馆一中的4个展馆，不参观亚洲联合馆一中的展馆，这时P(X＝0)＝1C410＝1210，X＝1表示参观欧洲联合馆一中的3个展馆，参观亚洲联合馆一中的1个展馆，这时P(X＝1)＝C34C16C410＝435，X＝2表示参观欧洲联合馆一中的2个展馆，参观亚洲联合馆一中的2个展馆，这时P(X＝2)＝C24·C26C410＝37，X＝3表示参观欧洲联合馆一中的1个展馆，参观亚洲联合馆一中的3个展馆，这时P(X＝3)＝C14·C36C410＝821，X＝4表示参观亚洲联合馆中的4个展馆，这时P(X＝4)＝C46C410＝114.所以X的分布列为：X01234P12104353782111415.(2012·东北三校联考)实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析](1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.则事件A、B、C是相互独立事件，事件A－B－C－与事件E是对立事件，于是P(E)＝1－P(A－B－C－)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30,40,50,60.P(ξ＝30)＝P(A－B－C－)＝13×13×12＝118，P(ξ＝40)＝P(AB－C－)＋P(A－BC－)＋P(A－B－C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P(ξ＝50)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝818，P(ξ＝60)＝P(ABC)＝418.所以ξ的分布列为ξ30405060P118518818418E(ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.[点评]1.求复杂事件的概率的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清各事件之间的关系，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算．2．直接计算符合条件的事件