【高考总复习必备】年高考数学闯关密练特训随机变量的数字特征与正态分布(理)新人教A版(含解析)

10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)闯关密练特训1.(2011·烟台模拟)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ1)＝p，则P(－1ξ0)＝()A.12＋pB.12－pC．1－2pD．1－p[答案]B[解析]∵ξ～N(0,1)，∴P(ξ－1)＝P(ξ1)＝p，∴P(－1ξ0)＝12[1－2p(ξ1)]＝12－p.2．(2012·浙江嘉兴模拟)甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数X的数学期望是()A.43B.119C．1D.89[答案]A[解析]依题意，X的取值为0、1、2.且P(X＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P(X＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P(X＝2)＝23×23＝49.故X的数学期望E(X)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43，选A.3．(2011·盐城模拟)某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为()A.81125B.54125C.36125D.27125[答案]A[解析]该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝C23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P2＝C33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝C23·(35)2·25＋C33·(35)3＝81125.4．(2011·福州调研)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．8[答案]C[解析]由0.5＋0.1＋b＝1知，b＝0.4，由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3知，a＝7，故选C.5．(2012·杭州质检)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)1.75，则p的取值范围是()A．(0，712)B．(712，1)C．(0，12)D．(12，1)[答案]C[解析]由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋31.75，解得p52或p12，又由p∈(0,1)，可得p∈(0，12)，故应选C.6．已知随机变量ξ，η满足ξ＝2η－1，且ξ～B(10，p)，若E(ξ)＝8，则D(η)＝()A．0.5B．0.8C．0.2D．0.4[答案]D[解析]∵E(ξ)＝10p＝8，∴p＝0.8，∴D(ξ)＝10p(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6，又D(ξ)＝D(2η－1)＝4D(η)，∴D(η)＝0.4.7．(2011·滨州模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的件数，则E(ξ)＝________.[来源:学。科。网][答案]34[解析]分布列如下：ξ0123PC312C316C14C212C316C24C112C316C34C316∴E(ξ)＝0×C312C316＋1×C14C212C316＋2×C24C112C316＋3×C34C316＝34.8．如果ξ～B(100，12)，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.[答案]50[解析]P(ξ＝k)＝Ck10012k·12100－k＝Ck10012100，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．9．(2011·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________.[答案]1[解析]P(ξ＝0)＝C23C24＝12，P(ξ＝2)＝C13·C11C24＝12，∴E(ξ)＝0×12＋2×12＝1.10．(2012·聊城市模拟)某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女学生；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法，从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．(1)求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；(2)求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；(3)记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．[解析](1)因为数学兴趣小组人数：英语兴趣小组人数＝10:5＝2:1，从数学兴趣小组和英语兴趣小组中抽取3人，则抽取数学小组的人数为2人，英语小组的人数为1人．(2)从数学兴趣小组中抽取2人恰有一名女生的概率P＝C16·C14C210＝815.(3)随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝0)＝C24C210·35＝225；P(ξ＝1)＝C16·C14C210·35＋C24C210·25＝2875；P(ξ＝2)＝C26C210·35＋C16·C14C210·25＝3175；P(ξ＝3)＝C26C210·25＝215，所以ξ的分布列为ξ0123P22528753175215E(ξ)＝0×225＋1×2875＋2×3175＋3×215＝85.能力拓展提升11.(2011·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于()A．0B．1C．2D．4[答案]B[解析]由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.12．(2011·广州模拟)一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，射击停止后尚余子弹的数目X的期望值为()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4[答案]C[解析]X的取值为3、2、1、0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43×0.6＋0.44＝0.064.∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.[来源:Zxxk.Com]13．(2012·河北石家庄市模拟)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：所用的时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径．(2)若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元(其他费用忽略不计)，此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按(1)中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．(注：毛利润＝销售商支付给生产商的费用－一次性费用)[解析](1)频率分布表，如下：所用的时间(天数)10111213通过公路1的频率0.20.40.20.2通过公路2的频率0.10.40.40.1设A1、A2分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；B1、B2分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∴汽车A应选择公路1.P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∴汽车B应选择公路2.(2)设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X＝42,40,38,36.X的分布列如下：X42403836P0.20.40.20.2E(X)＝42×0.2＋40×0.4＋38×0.2＋36×0.2＝39.2.∴汽车A选择公路1时的毛利润为39.2－3.2＝36.0(万元)设Y表示汽车B选择公路2时的毛利润，Y＝42.4，40.4，38.4,36.4.则分布列如下：Y42.4[来源:学科网]40.438.436.4P0.10.40.40.1E(Y)＝42.4×0.1＋40.4×0.4＋38.4×0.4＋36.4×0.1＝39.4，∴汽车B选择公路2时的毛利润为39.4万元，∵36.039.4，∴汽车B为生产商获得毛利润更大．14．(2012·陕西理，20)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4min开始办理业务的概率；(2)X表示至第2min末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．[分析](1)由表中所给出的数值，第三个顾客恰好等待4min开始办理业务应分三种情况，逐一列出后求出其概率．(2)从已知条件知，X的值为0人，1人，2人三种情况，特别当x＝1时要注意再进行分类讨论．[解析]设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4min开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1min，且第二个顾客办理业务所需的时间为3min；②第一个顾客办理业务所需的时间为3min，且第二个顾客办理业务所需的时间为1min；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2min.所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2min，所以P(X＝0)＝P(Y2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1min且第二个顾客办理业务所需的时间超过1min，或第一个顾客办理业务所需的时间为2min，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1min，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01；所以X的分布列为[来源:学科网ZXXK]X012P0.50.490.01E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.01＝0.51.15．设两球队A、B进行友谊比赛，在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)．(1)若比赛6局，且p＝23，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？(2)若比赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若采用“五局三胜”制，求A队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．[解析](1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A，则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]＝1－C562351－23＋C66236＝1－256729＝473729.∴A队至多获胜4局的概率为473729.(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B)＝C36p3(1－p)3.当p＝0或p＝1时，显然有P(B)＝0.当0p1时，P(B)＝C36p3(1－p)3＝20·[p(1－p)]3≤20·p＋1－p223＝20·126＝516，当且仅当p＝1－p，即p＝12时取等号．故A队恰好获胜3局的概率的最大值是516.(3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数ξ＝3,4,5.P(ξ＝3)＝p3；P(ξ＝4)＝C23p3(1－p)＝3p3(1－p)