【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练39

题组层级快练(三十九)1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项之和为()A．2n－1B．n·2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2答案D解析记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝2·2n－12－1－n＝2n＋1－2－n.2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为()A.13B.512C.12D.712答案B解析bn＝1an＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n等于()A．13B．10C．9D．6答案D解析∵an＝2n－12n＝1－12n，∴Sn＝n－(12＋122＋…＋12n)＝n－1＋12n.而32164＝5＋164，∴n－1＋12n＝5＋164.∴n＝6.4．数列{(－1)n(2n－1)}的前2016项和S2016等于()A．－2016B．2016C．－2015D．2015答案B解析S2016＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2015－1)＋(2×2016－1)＝＝2016.故选B.5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(3n－1)2B.12(9n－1)C．9n－1D.14(3n－1)答案B解析因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．则数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.6．已知等差数列{an}的公差为d，且an≠0，d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1可化简为()A.nda1a1＋ndB.na1a1＋ndC.da1a1＋ndD.n＋1a1[a1＋n＋1d]答案B解析∵1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)，∴原式＝1d(1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1)＝1d(1a1－1an＋1)＝na1·an＋1，选B.7．已知函数f(n)＝n2，当n为正奇数时，－n2，当n为正偶数时，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于()A．0B．100C．－100D．10200答案B解析由题意，得a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…[phone]＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.8．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是()A．2n＋1＋2－n－2B．2n＋1－n＋2C．2n－n－2D．2n＋1－n－2答案D解析Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋2n，②②－①，得Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n＝－n＋21－2n1－2＝2n＋1－n－2.故选D.9．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n答案A解析∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1.∴f(x)＝x2＋x＝x(x＋1)．数列{1fn}(n∈N*)的前n项和为Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.故选A.10．设直线nx＋(n＋1)y＝2(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2013的值为()A.20102011B.20112012C.20122013D.20132014答案D解析直线与x轴交于(2n，0)，与y轴交于(0，2n＋1)，∴Sn＝12·2n·2n＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.∴原式＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12013－12014)＝1－12014＝20132014.11．(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝____________.答案5050解析原式＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝100×100＋12＝5050.12．Sn＝122－1＋142－1＋…＋12n2－1＝________.答案n2n＋1解析通项an＝12n2－1＝12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)，∴Sn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)＝n2n＋1.13．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________.答案6n－n21≤n≤3，n2－6n＋18n3解析由Sn＝n2－6n，得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.∴n≤3时，an0；n3时，an0.∴Tn＝6n－n21≤n≤3，n2－6n＋18n3.14．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则S100＝________.答案2600解析由已知，得a1＝1，a2＝2，a3－a1＝0，a4－a2＝2，…，a99－a97＝0，a100－a98＝2.累加得a100＋a99＝98＋3，同理得a98＋a97＝96＋3，…，a2＋a1＝0＋3，则a100＋a99＋a98＋…＋a2＋a1＝50×98＋02＋50×3＝2600.15．数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝________.答案9解析∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an.∴an＋1＝4an，即an＋1an＝4.∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列．当n＝1时，a2＝3S1＝3，∴n≥2时，an＝3·4n－2.S10＝a1＋a2＋…＋a10＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×1－491－4＝1＋49－1＝49.∴log4S10＝log449＝9.16．已知数列{an}为等比数列．Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4.(1)求{an}的通项公式；(2)求{Tn}的通项公式．答案(1)an＝2n－1(2)Tn＝2n＋1－n－2解析(1)T1＝a1＝1，T2＝2a1＋a2＝2＋a2＝4，∴a2＝2.∴等比数列{an}的公比q＝a2a1＝2.∴an＝2n－1.(2)方法一：Tn＝n＋(n－1)·2＋(n－2)·22＋…＋1·2n－1，①2Tn＝n·2＋(n－1)22＋(n－2)23＋…＋1·2n，②②－①，得Tn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋21－2n1－2＝－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2.方法二：设Sn＝a1＋a2＋…＋an，∴Sn＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an)＝S1＋S2＋…＋Sn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.17．(2014·大纲全国理)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.答案(1)an＝13－3n(2)Tn＝n1010－3n思路(1)先求公差d，再求通项公式；(2)利用裂项相消法求和．解析(1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－103≤d≤－52.因此d＝－3.所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝113－3n10－3n＝13110－3n－113－3n.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋…＋110－3n－113－3n＝13110－3n－110＝n1010－3n.1．(2015·安徽安庆二模)在正项数列{an}中，a1＝1，a5＝16，对任意n∈N*，函数f(x)＝a2n＋1x－anan＋2·(cosx＋sinx)满足f′(0)＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和Sn.解析(1)求导得f′(x)＝a2n＋1－anan＋2(－sinx＋cosx)，由f′(0)＝0，可得a2n＋1＝anan＋2.又an0，故数列{an}为等比数列，且公比q0.由a1＝1，a5＝16，得q4＝16，q＝2.所以通项公式an＝2n－1(n∈N*)．(2)Sn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1，①2Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②①－②，得－Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝2n－1－n·2n.∴Sn＝(n－1)·2n＋1.2．设数列{an}是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x2－14x＋45＝0的两个实根．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an＋12n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)因为方程x2－14x＋45＝0的两个根分别为5,9，所以由题意可知a3＝5，a5＝9，所以d＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.(2)由(1)可知，bn＝an＋12n＋1＝n·12n，∴Tn＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n－1)×12n－1＋n·12n.①∴12Tn＝1×122＋2×123＋…＋(n－1)×12n＋n·12n＋1.②①－②，得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n－n·12n＋1＝1－n＋22n＋1，所以Tn＝2－n＋22n.3．(2015·沧州七校联考)已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2an－2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{bnan＋2}的前n项和，求证：Tn≥12.解析(1)当n∈N*时，Sn＝2an－2n，则当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)，两式相减，得an＝2an－2an－1－2，即an＝2an－1＋2.∴an＋2＝2(an－1＋2)，∴an＋2an－1＋2＝2.当n＝1时，S1＝2a1－2，则a1＝2.∴{an＋2}是以a1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列．∴an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2.(2)证明：bn＝log2(an＋2)＝log22n＋1＝n＋1，∴bnan＋2＝n＋12n＋1，则Tn＝222＋323＋…＋n＋12n＋1，12Tn＝223＋324＋…＋n2n＋1＋n＋12n＋2，两式相减，得12Tn＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2＝14＋141－12n1－12－n＋12n＋2＝14＋12－12n＋1－n＋12n＋2＝34－n＋32n＋2.∴Tn＝32－n＋32n＋1.当n≥2时，Tn－Tn－1＝－n＋32n＋1＋n＋22n＝n＋12n＋10，∴{Tn}为递增数列，∴Tn≥T1＝12.4．(2014·湖南十二校一联)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an