【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练40

题组层级快练(四十)1．(2014·天津文)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a21－4a1＋1＝4a21－6a1⇒a1＝－12.2．在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为()A．2B．4C．8D．16答案D解析∵{an}为等差数列，∴a7＝a3＋a112＝4＝b7.又{bn}为等比数列，b6·b8＝b27＝16，故选D.3．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8等于()A．1＋2B．1－2C．3＋22D．3－22答案C解析记等比数列{an}的公比为q，其中q0，则有a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±2.又q0，因此q＝1＋2.所以a9＋a10a7＋a8＝a7q2＋a8q2a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22.选C.4．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝()A．3n＋4B．6n＋2C．6n＋4D．2n＋2答案C解析设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，则d1＝a6－a26－2＝84＝2，d2＝b6－b26－2＝124＝3.∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4，bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2.∴数列{an}为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{bn}为1,4,7,10,13,16,19,22，….∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列．∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4.5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()A．24B．32C．48D．64答案D解析依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1.两式相除，得an＋2an＝2.所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列．而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()12121abcA.1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，a＝12，b＝516，c＝316.故a＋b＋c＝1，故选A.7．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．答案12或1解析设数列{an}的公差为d，由题可知，a23＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为12.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．答案13解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0.∴q＝13.9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数．．．中不同的数的个数为Tn，则T4＝________.答案2n－1,10解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝1－2n1－2＝2n－1.当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T4＝10.10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….若n为正整数，则向量P1P2→＋P3P4→＋P5P6→＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为________．答案23(4n－1)解析PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)，于是P1P2→＋P3P4→＋P5P6→＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n－1＝21－4n1－4＝23(4n－1)．11．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8.{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．答案(1)an＝n，bn＝2n－1(2)29解析(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋10×92d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝29.12．(2014·湖北)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．答案(1)an＝2或an＝4n－2(2)当an＝2时，不存在，当an＝4n－2时，存在，n最小值为41解析(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)．化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n.显然2n60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn60n＋800成立．当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋4n－2]2＝2n2.令2n260n＋800，即n2－30n－4000，解得n40或n－10(舍去)．此时存在正整数n，使得Sn60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．答案(1)该林场第6年植树的面积为80a亩(2)Sn＝32a[32n－1]，1≤n≤5，n∈N，211a＋166a－nan－52，6≤n≤10，n∈N解析(1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a.∴该林场第6年植树的面积为80a亩．(2)设第n年该林场植树的面积为an亩，则an＝32n－1×16a，1≤n≤5，n∈N，86－na，6≤n≤10，n∈N.∴当1≤n≤5时，Sn＝16a＋24a＋…＋(32)n－1×16a＝16a[1－32n]1－32＝32a[(32)n－1](亩)．当6≤n≤10时，Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a＝211a＋80a＋…＋(86－n)a＝211a＋[80a＋86－na]n－52＝211a＋166a－nan－52(亩)．∴所求Sn的表达式为Sn＝32a[32n－1]，1≤n≤5，n∈N，211a＋166a－nan－52，6≤n≤10，n∈N.14．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{bn}是等比数列；(3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1cn.答案(1)an＝n＋1(2)略(3)略解析(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列．∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.(2)∵点(bn，Tn)在直线y＝－12x＋1上，∴Tn＝－12bn＋1.①∴Tn－1＝－12bn－1＋1(n≥2)．②①②两式相减，得bn＝－12bn＋12bn－1(n≥2)．∴32bn＝12bn－1，∴bn＝13bn－1.由①，令n＝1，得b1＝－12b1＋1，∴b1＝23.∴{bn}是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)由(2)可知bn＝23·13n－1＝23n.∴cn＝an·bn＝(n＋1)·23n.∴cn＋1－cn＝(n＋2)·23n＋1－(n＋1)·23n＝23n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝23n＋1(－2n－1)0.∴cn＋1cn.1．若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2013，则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为()A．2013·1010B．2013·1011C．2014·1010D．2014·1011答案A解析由条件知lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝1，即an＋1an＝10，所以{an}为公比是10的等比数列．因为(a2001＋…＋a2010)·q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2013·1010，选A.2．气象局用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910(n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天答案B解析由第n天的维修保养费为n＋4910(n∈N*)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值．设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为3.2×104＋5＋n＋4910n2n＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n＝n20时取得最小值，此时n＝800，故选B.3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只密蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回2个伙伴，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案243解析第一天有1＋2只，第二天有a2＝3a1＝9只，第三天有a3＝3a2＝27只，……，故第n天为an＝3n，则a5＝35＝243只．4．设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．答案10100解析由x2－x2nx(n∈N*)，得0x2n＋1，因此an＝2n，所以数列{an}是一个等差数列，所以S100＝100×2＋2002＝10100.5．为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10000辆燃油型