【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练61

题组层级快练(六十一)1．(课本习题改编)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．随a的变化而变化答案B解析∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案B解析圆心到直线的距离d＝|sinθ－2－sinθ|sin2θ＋cos2θ＝2.所以直线与圆相切．3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.则有|3k－2|k3＋1＝3，∴k＝－512.此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.4．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为()A.π6B.π2C.2π3D.5π6答案D解析由题意知，|k＋3|k2＋1＝1，∴k＝－33.∴直线l的倾斜角为5π6.5．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5B．(x＋5)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5答案B解析设圆心为(a,0)(a0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d＝|a＋2×0|12＋22＝1，解得a＝－5，所以，所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.6．已知圆O：x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆O的半径为()A．9B．3C．6D．2答案B解析由x2＋y2－2x＋my－4＝0，得(x－1)2＋(y＋m2)2＝1＋m24＋4，圆心坐标为(1，－m2)．又由已知条件可知圆心在直线2x＋y＝0上，将圆心坐标代入直线方程可求得m＝4.设圆O的半径为r，则r2＝1＋m24＋4＝9，解得r＝3.7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案C解析把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2.8．(2015·福建福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B两点，则CA→·CB→的值为()A．－1B．0C．1D．6答案B解析联立x－32＋y－32＝4，x－y＋2＝0，消去y，得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3.∴A(1,3)，B(3,5)．又C(3,3)，∴CA→＝(－2,0)，CB→＝(0,2)．∴CA→·CB→＝－2×0＋0×2＝0.9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m0)，若C上存在的点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B解析由(x－3)2＋(y－4)2＝1得圆上点P(x0，y0)可化为x0＝3＋cosθ，y0＝4＋sinθ.∵∠APB＝90°，即AP→·BP→＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0.∴m2＝x20＋y20＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36.∴m≤6，即m的最大值为6.10．(2014·大纲全国)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．答案43解析利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值．如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝22.∴tan∠OAB＝|OB||AB|＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan∠CAB＝2tan∠OAB1－tan2∠OAB＝2×121－14＝43.11．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案4±15解析依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|1·a＋a－2|a2＋1＝3，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±15.12．(2013·江西理)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．答案－33解析曲线y＝1－x2的图像如图所示．若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k0，设l：y＝k(x－2)，则点O到l的距离d＝－2kk2＋1.又S△AOB＝12|AB|·d＝12×21－d2·d＝1－d2·d2≤1－d2＋d22＝12，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝12时，S△AOB取得最大值．所以2k2k2＋1＝12.∴k2＝13，∴k＝－33.13．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．答案x＋y－3＝0或x＋y＋1＝0或x－y＋5＝0或x－y＋1＝0或(2±6)x－y＝0解析∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点．①当k＝±1时，设切线方程为y＝－x＋b或y＝x＋c，分别代入圆C的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0.由于相切，则方程有等根，即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.故所求切线方程为x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.②当切线过原点时，设方程为y＝kx即kx－y＝0.由|－k－2|k2＋1＝2，得k＝2±6.∴此时切线方程为y＝(2±6)x.综上①②可得切线方程为x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0，(2±6)x－y＝0.14．已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求实数m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．答案(1)(8，374)(2)m＝3解析(1)圆的方程为(x＋12)2＋(y－3)2＝37－4m4，故有37－4m40，解得m374.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得x＋2y－3＝0，x2＋y2＋x－6y＋m＝0，消去y，得x2＋(3－x2)2＋x－6×3－x2＋m＝0.整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)0，解得m8.∴m的取值范围是(8，374)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得OP→·OQ→＝0，即x1x2＋y1y2＝0.②由(1)及根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝4m－275.③又∵P，Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝3－x12×3－x22＝14[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入上式，得y1y2＝m＋125，④将③④代入②，得x1x2＋y1y2＝4m－275＋m＋125＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ0成立，∴m＝3.15．(2015·福建漳州七校第一次联考)已知圆C：x2＋y2＋2x＋a＝0上存在两点关于直线l：mx＋y＋1＝0对称．(1)求实数m的值；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，OA→·OB→＝－3(O为坐标原点)，求圆C的方程．答案(1)m＝1(2)x2＋y2＋2x－3＝0解析(1)圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝1－a，圆C(－1,0)．∵圆C上存在两点关于直线l：mx＋y＋1＝0对称，∴直线l：mx＋y＋1＝0过圆心C.∴－m＋1＝0，解得m＝1.(2)联立x2＋y2＋2x＋a＝0，x＋y＋1＝0，消去y，得2x2＋4x＋a＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16－8(a＋1)0，∴a1.由x1＋x2＝－2，x1x2＝a＋12，得y1y2＝(－x1－1)(－x2－1)＝a＋12－1.∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝a＋1－1＝a＝－3.∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－3＝0.16．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．答案(1)(x－1)2＋(y－3)2＝2(2)x＋3y－8＝0，165解析(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x,2－y)．由题设知CM→·MP→＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83.又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为4105，|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.1．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.17答案A解析圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的最小值为|C3C2|－4＝2－32＋－3－42－4＝52－4，故选A.2．(2013·新课标全国Ⅱ文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．答案(1)y2－x2＝1(2)x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3解析(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.3．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为任何实数，直线l与圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．答案(1)略(2)27解析方法一：(1)由y＝kx＋1，x－12＋y＋12＝12，消去y，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0.因为Δ＝(2－4k