【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练69

题组层级快练(六十九)1．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A．椭圆B．AB所在的直线C．线段ABD．无轨迹答案C解析∵|AB|＝5，∴到A，B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y答案C解析由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.3．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是()A.x23＋y24＝1B.x23＋y24＝1(x≠±3)C.x24＋y23＝1D.x24＋y23＝1(x≠±2)答案D解析∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆．又B是三角形的顶点，A，B，C三点不能共线，故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1，且y≠0.4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案D解析连接MF，由中垂线性质，知|MB|＝|MF|.即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等．∴点M的轨迹是抛物线．∴D正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是()A．双曲线B．一个圆C．两个圆D．两条抛物线答案C解析由|PF1|＋|PF2|＝4a，|PF1|－|PF2|＝2a，得到|PF1|＝3|PF2|或|PF2|＝3|PF1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．直线答案A解析点差法kAB＝2py1＋y2＝2p2y＝kMF＝yx－p2化简得抛物线．7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|＝|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)C．y＝x2(0≤x≤1)D．y＝1－x2(0≤x≤1)答案A解析设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋yλ＝1(0≤x≤1)，线段OE的方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组x＋yλ＝1，0≤x≤1，y＝1－λx，0≤x≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)，故A正确．8．(2015·衡水调研卷)双曲线M：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)实轴的两个顶点为A，B，点P为双曲线M上除A，B外的一个动点，若QA⊥PA且QB⊥PB，则动点Q的运动轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案C解析A(－a,0)，B(a,0)，设Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP＝y0x0＋a，kBP＝y0x0－a，kAQ＝yx＋a，kBQ＝yx－a，由QA⊥PA且QB⊥PB，得kAPkAQ＝y0x0＋a·yx＋a＝－1，kBPkBQ＝y0x0－a·yx－a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线．9．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足AC→＝2CB→，则动点C的轨迹方程________．答案x2＋14y2＝1解析设A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9.又C(x，y)，则由AC→＝2CB→，得(x－a，y)＝2(－x，b－y)．即x－a＝－2x，y＝2b－2y，即a＝3x，b＝32y，代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋14y2＝1.10．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．答案y2＝4(x－2)解析设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM→＝NP→，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.由y＝kx－1，y2＝4x，联立得x＝x1＋x2＝2k2＋4k2.y＝y1＋y2＝4kk2，消去参数k，得y2＝4(x－2)．11．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．答案(x－10)2＋y2＝36(y≠0)解析方法一：直接法．设A(x，y)，y≠0，则D(x2，y2)．∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.化简，得(x－10)2＋y2＝36.由于A，B，C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0.方法二：定义法．如图，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36.又A，B，C不共线，故A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．12．已知抛物线y2＝nx(n0)与双曲线x28－y2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是________．答案n2＝16(m＋8)(n0)解析抛物线的焦点为(n4，0)，在双曲线中，8＋m＝c2＝(n4)2，n0，即n2＝16(m＋8)(n0)．13.如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．答案(1)y＝22x－22(2)(x－1)2＋y2＝9(3)49x2＋45y2＝1解析(1)∵kAB＝－2，AB⊥BC，∴kCB＝22.∴BC：y＝22x－22.(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)．∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(3)∵P(－1,0)，M(1,0)，∵圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a＝32，c＝1，b＝a2－c2＝54.∴轨迹方程为49x2＋45y2＝1.14．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)讨论轨迹C的形状．答案(1)x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)(2)略解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yx＋1·yx－1＝λ.整理，得x2－y2λ＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)①当λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1λ0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；④当λ－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．15．(2014·福建文)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．答案(1)x2＝4y(2)线段AB长度不变，证明略思路(1)由题意判断曲线是抛物线，用定义求曲线方程；(2)先求出切线方程，联立方程得出A，M的坐标，用勾股定理表示AB的长度．解析方法一：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝14x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝14x20.由y′＝12x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝12x0.所以切线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)，即y＝12x0x－14x20.由y＝12x0x－14x20，y＝0，得A12x0，0.由y＝12x0x－14x20，y＝3，得M12x0＋6x0，3.又N(0,3)，所以圆心C14x0＋3x0，3，半径r＝12|MN|＝14x0＋3x0.∴|AB|＝|AC|2－r2＝12x0－14x0＋3x02＋32－14x0＋3x02＝6.所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．方法二：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，则|y－(－3)|－x－02＋y－12＝2，依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y－3.所以x－02＋y－12＝y＋1.化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)同方法一．16．(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．答案(1)y2＝4x，x≥0，0，x0.(2)略思路(1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程，注意分x≥0，x0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l的方程，然后联立直线l与抛物线的方程，消去x，得到关于y的方程，分k＝0，k≠0两种情况讨论；当k≠0时，设直线l与x轴的交点为(x0,0)进而按Δ，x0与0的大小关系再分情况讨论．解析(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即x－12＋y2＝|x|＋1.化简整理，得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝4x，x≥0，0，x0.(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组y－1＝kx＋2，y2＝4x，可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝14.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点14，1.当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－2k＋1k.③若Δ0，x00，由②③解得k－1，或k12.即当k∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若Δ＝0，x00，或Δ0，x0≥0，由②③解得k∈－1，12，或－12≤k0.即当k∈－1，12时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈－12，0时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈－12，0∪－1，12时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若Δ0，x00，由②③解得－1k－12，或0k12.即当k∈－1，－12∪0，12