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题组层级快练(六十九)1.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是()A.椭圆B.AB所在的直线C.线段ABD.无轨迹答案C解析∵|AB|=5,∴到A,B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2.若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P的轨迹方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y答案C解析由题意知P到F(0,2)的距离比它到y+4=0的距离小2,因此P到F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P的轨迹方程为x2=8y.3.在△ABC中,已知A(-1,0),C(1,0),且|BC|,|CA|,|AB|成等差数列,则顶点B的轨迹方程是()A.x23+y24=1B.x23+y24=1(x≠±3)C.x24+y23=1D.x24+y23=1(x≠±2)答案D解析∵|BC|,|CA|,|AB|成等差数列,∴|BC|+|BA|=2|CA|=4.∴点B的轨迹是以A,C为焦点,半焦距c=1,长轴长2a=4的椭圆.又B是三角形的顶点,A,B,C三点不能共线,故所求的轨迹方程为x24+y23=1,且y≠0.4.已知点F(1,0),直线l:x=-1,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案D解析连接MF,由中垂线性质,知|MB|=|MF|.即M到定点F的距离与它到直线x=-1距离相等.∴点M的轨迹是抛物线.∴D正确.5.设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍,则椭圆与双曲线的交点轨迹是()A.双曲线B.一个圆C.两个圆D.两条抛物线答案C解析由|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|-|PF2|=2a,得到|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|,所以是两个圆.6.经过抛物线y2=2px焦点的弦的中点的轨迹是()A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线答案A解析点差法kAB=2py1+y2=2p2y=kMF=yx-p2化简得抛物线.7.(2015·北京朝阳上学期期末)已知正方形的四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点D,E分别在线段OC,AB上运动,且|OD|=|BE|,设AD与OE交于点G,则点G的轨迹方程是()A.y=x(1-x)(0≤x≤1)B.x=y(1-y)(0≤y≤1)C.y=x2(0≤x≤1)D.y=1-x2(0≤x≤1)答案A解析设D(0,λ),E(1,1-λ),0≤λ≤1,所以线段AD的方程为x+yλ=1(0≤x≤1),线段OE的方程为y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组x+yλ=1,0≤x≤1,y=1-λx,0≤x≤1,(λ为参数),消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1-x)(0≤x≤1),故A正确.8.(2015·衡水调研卷)双曲线M:x2a2-y2b2=1(a0,b0)实轴的两个顶点为A,B,点P为双曲线M上除A,B外的一个动点,若QA⊥PA且QB⊥PB,则动点Q的运动轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案C解析A(-a,0),B(a,0),设Q(x,y),P(x0,y0),kAP=y0x0+a,kBP=y0x0-a,kAQ=yx+a,kBQ=yx-a,由QA⊥PA且QB⊥PB,得kAPkAQ=y0x0+a·yx+a=-1,kBPkBQ=y0x0-a·yx-a=-1.两式相乘即得轨迹为双曲线.9.长为3的线段AB的端点A,B分别在x,y轴上移动,动点C(x,y)满足AC→=2CB→,则动点C的轨迹方程________.答案x2+14y2=1解析设A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9.又C(x,y),则由AC→=2CB→,得(x-a,y)=2(-x,b-y).即x-a=-2x,y=2b-2y,即a=3x,b=32y,代入a2+b2=9,并整理,得x2+14y2=1.10.若过抛物线y2=4x的焦点作直线与其交于M,N两点,作平行四边形MONP,则点P的轨迹方程为________.答案y2=4(x-2)解析设直线方程为y=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2),P(x,y),由OM→=NP→,得(x1,y1)=(x-x2,y-y2).得x1+x2=x,y1+y2=y.由y=kx-1,y2=4x,联立得x=x1+x2=2k2+4k2.y=y1+y2=4kk2,消去参数k,得y2=4(x-2).11.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为________.答案(x-10)2+y2=36(y≠0)解析方法一:直接法.设A(x,y),y≠0,则D(x2,y2).∴|CD|=x2-52+y24=3.化简,得(x-10)2+y2=36.由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y≠0.方法二:定义法.如图,设A(x,y),D为AB的中点,过A作AE∥CD交x轴于E.∵|CD|=3,∴|AE|=6,则E(10,0),∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心,6为半径的圆,即(x-10)2+y2=36.又A,B,C不共线,故A点纵坐标y≠0,故A点轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).12.已知抛物线y2=nx(n0)与双曲线x28-y2m=1有一个相同的焦点,则动点(m,n)的轨迹方程是________.答案n2=16(m+8)(n0)解析抛物线的焦点为(n4,0),在双曲线中,8+m=c2=(n4)2,n0,即n2=16(m+8)(n0).13.如图所示,直角三角形ABC的顶点坐标A(-2,0),直角顶点B(0,-22),顶点C在x轴上,点P为线段OA的中点.(1)求BC边所在直线方程;(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程;(3)若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心N的轨迹方程.答案(1)y=22x-22(2)(x-1)2+y2=9(3)49x2+45y2=1解析(1)∵kAB=-2,AB⊥BC,∴kCB=22.∴BC:y=22x-22.(2)在上式中,令y=0,得C(4,0).∴圆心M(1,0).又∵|AM|=3,∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9.(3)∵P(-1,0),M(1,0),∵圆N过点P(-1,0),∴PN是该圆的半径.又∵动圆N与圆M内切,∴|MN|=3-|PN|,即|MN|+|PN|=3.∴点N的轨迹是以M,P为焦点,长轴长为3的椭圆.∴a=32,c=1,b=a2-c2=54.∴轨迹方程为49x2+45y2=1.14.已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)讨论轨迹C的形状.答案(1)x2-y2λ=1(λ≠0,x≠±1)(2)略解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=yx+1·yx-1=λ.整理,得x2-y2λ=1(λ≠0,x≠±1).(2)①当λ0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(除去顶点);②当-1λ0时,轨迹C为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点);③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心,1为半径的圆除去点(-1,0),(1,0);④当λ-1时,轨迹C为中心在原点,焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).15.(2014·福建文)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.答案(1)x2=4y(2)线段AB长度不变,证明略思路(1)由题意判断曲线是抛物线,用定义求曲线方程;(2)先求出切线方程,联立方程得出A,M的坐标,用勾股定理表示AB的长度.解析方法一:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=14x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=14x20.由y′=12x,得切线l的斜率k=y′|x=x0=12x0.所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x20.由y=12x0x-14x20,y=0,得A12x0,0.由y=12x0x-14x20,y=3,得M12x0+6x0,3.又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,半径r=12|MN|=14x0+3x0.∴|AB|=|AC|2-r2=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.方法二:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-x-02+y-12=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y-3.所以x-02+y-12=y+1.化简,得曲线Γ的方程为x2=4y.(2)同方法一.16.(2014·湖北)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.答案(1)y2=4x,x≥0,0,x0.(2)略思路(1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程,注意分x≥0,x0两种情况讨论,最后写成分段函数的形式;(2)先求出直线l的方程,然后联立直线l与抛物线的方程,消去x,得到关于y的方程,分k=0,k≠0两种情况讨论;当k≠0时,设直线l与x轴的交点为(x0,0)进而按Δ,x0与0的大小关系再分情况讨论.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即x-12+y2=|x|+1.化简整理,得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x≥0,0,x0.(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组y-1=kx+2,y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.③若Δ0,x00,由②③解得k-1,或k12.即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若Δ=0,x00,或Δ0,x0≥0,由②③解得k∈-1,12,或-12≤k0.即当k∈-1,12时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若Δ0,x00,由②③解得-1k-12,或0k12.即当k∈-1,-12∪0,12
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