【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练83

题组层级快练(八十三)1．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσex－μ22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝122πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在x轴下方，所以选B.2．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有①④⑤⑥B．只有②④⑤C．只有③④⑤⑥D．只有①⑤⑥答案A3．设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(|x－μ|3σ)将会()A．单调增加B．单调减少C．保持不变D．增减不定答案C解析P(|x－μ|3σ)＝P(μ－3σXμ＋3σ)＝0.9974是一个常数．4．(2015·广东惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，则a＝()A．3B.53C．5D.73答案D解析因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ2a－3)＝P(ξa＋2)，所以2a－3＋a＋2＝6，a＝73，故选D.5．(2015·湖北荆州中学第一次质检)若随机变量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，则P(0X2)＝()A．1－2mB.1－m2C.1－2m2D．1－m答案A解析因为随机变量X～N(1,4)，所以正态曲线的对称轴为x＝1，因此P(0x2)＝1－P(x≤0)－P(x≥2)＝1－2P(x≤0)＝1－2m，故选A.6．(2015·山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175cm范围内的校服大约要定制()A．683套B．954套C．972套D．997套答案B解析P(155ξ175)＝P(165－5×2ξ165＋5×2)＝P(μ－2σξμ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.7．已知变量x服从正态分布N(4，σ2)，且P(x2)＝0.6，则P(x6)＝()A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1答案A解析因为P(x2)＝0.6，所以P(x2)＝1－0.6＝0.4.因为N(4，σ2)，所以此正态分布的图像关于x＝4对称，所以P(x6)＝P(x2)＝0.4.故选A.8．(2015·皖南十校联考)在某市2015年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？()A．1500B．1700C．4500D．8000答案A解析因为学生的数学成绩X～N(98,100)，所以P(X≥108)＝12[1－P(88X108)]＝12[1－P(μ－σXμ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.9．(2015·南昌调研)某单位1000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5kg属于正常，则这1000名青年职员中体重属于正常的人数约是()A．683B．841C．341D．667答案A解析∵P(58.5X62.5)＝P(μ－σXμ＋σ)≈0.683，∴体重正常的人数约为1000×0.683＝683人．10．(2015·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为()A．0.3%B．0.23%C．1.5%D．0.15%答案D解析依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.11．如果随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝122πe－x＋228(x∈R)，那么E(2X－1)＝________.答案－5解析σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.12．(2015·山东青岛一模)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ1)＝a，a为常数，则P(－1≤ξ≤0)＝________.答案12－a解析由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P(ξ1)＝a，故P(ξ－1)＝a.所以P(－1≤ξ≤0)＝1－2a2＝12－a，即答案为12－a.13．(2015·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．(精确到0.0001)注：P(μ－σx≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σx≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σx≤μ＋3σ)＝0.9974答案0.0228解析因为袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，所以P(ξ9.8)＝12[1－P(9.8ξ10.2)]＝12[1－P(10－2×0.1ξ10＋2×0.1)]＝12(1－0.9544)＝0.0228.14．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图像，可以看出，图像关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．15．(2015·沧州七校联考)2014年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案180思路首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．解析由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．16．(2015·湖北武汉模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σξ≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σξ≤μ＋3σ)＝0.9974.答案(1)168cm(2)10人(3)25解析(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100)×4＝168.72，高于全市的平均值168cm.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4ξ≤168＋3×4)＝0.9974，∴P(ξ≥180)＝1－0.99742＝0.0013.∴0.0013×100000＝130.∴全市前130名男生的身高在180cm以上，这50人中180cm以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝C28C210＝2845，P(ξ＝1)＝C18C12C210＝1645，P(ξ＝2)＝C22C210＝145，∴E(ξ)＝0×2548＋1×1645＋2×145＝25.1．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝182π.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？答案(1)φμ，σ(x)＝182πe－x－802128(2)68.26%解析(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此得μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182πe－x－802128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件尺寸ξ位于区间(72,88)内的概率是0.6826.因此尺寸在72mm－88mm间的零件大约占总数的68.26%.2．(2013·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车，B型车各多少辆？答案(1)0.9772(2)A型车5辆，B型车12辆解析(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700X≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800X≤900)＝12＋12P(700X≤900)＝0.9772.(2)设A型，B型车辆的