【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习12.4直接证明与间接证明基础盘点系统化AB演练理

1【高考领航】2015届高考数学新一轮总复习12.4直接证明与间接证明基础盘点系统化AB演练理A组基础演练1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是()A．ac2＜bc2B．a2＞ab＞b2C.1a＜1bD.ba＞ab解析：a2－ab＝a(a－b)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，∴a2－ab＞0，∴a2＞ab.①又ab－b2＝b(a－b)＞0，∴ab＞b2，②由①②得a2＞ab＞b2.答案：B2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.a＋b22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案：D3．(2014·山西师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B4．(2014·银川模拟)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；2②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．答案：C5．设a＞b＞0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：取a＝2，b＝1，得m＜n.再用分析法证明：a－b＜a－b⇐a＜b＋a－b⇐a＜b＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b＞0，显然成立．答案：m＜n6．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案：a，b，c，d全是负数7．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．解析：根据线面关系定理判定．答案：①③④8．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，3故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．9．(理科)(2014·东北三校模拟)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－12x2＋13x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a，b；(2)证明：f(x)≤g(x)．解：(1)f′(x)＝11＋x，g′(x)＝b－x＋x2，由题意得g＝f，f＝g，解得a＝0，b＝1.(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－13x3＋12x2－x(x＞－1)．h′(x)＝1x＋1－x2＋x－1＝－x3x＋1.h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．9．(文科)已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量a＋b与a－b不平行．证明：假设向量a＋b与a－b平行，即存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)成立，则(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，∴1－λ＝0，1＋λ＝0，得λ＝1，λ＝－1，所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．B组能力突破1．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有fx1＋x22＜fx1＋fx22，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为()A．y＝log2xB．y＝xC．y＝x2D．y＝x3解析：可以根据图象直观观察；对于C证明如下：欲证fx1＋x22fx1＋fx22，即证x1＋x222x21＋x222.即证(x1＋x2)2＜2x21＋2x22.4即证(x1－x2)2＞0.显然成立．故原不等式得证．答案：C2．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2D．至少有一个不小于－2解析：因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C3．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴fA＋fB＋fC3≤fA＋B＋C3＝fπ3，即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为332.答案：3324．已知常数p＞0且p≠1，数列{an}的前n项和Sn＝p1－p·(1－an)，数列{bn}满足bn＋1－bn＝logpa2n－1且b1＝1.(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)若对于在区间[0,1]上的任意实数λ，总存在不小于2的自然数k，当n≥k时，bn≥(1－λ)(3n－2)恒成立，求k的最小值．解：(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝p1－p(1－an)－p1－p(1－an－1)，整理得an＝pan－1.由a1＝S1＝p1－p(1－a1)，得a1＝p＞0，则恒有an＝pn＞0，从而anan－1＝p.所以数列{an}为等比数列．(2)由(1)知an＝pn，则bn＋1－bn＝logpa2n－1＝2n－1，所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝n2－2n＋2，5所以n2－2n＋2≥(1－λ)(3n－2)，则(3n－2)λ＋n2－5n＋4≥0在λ∈[0,1]时恒成立．记f(λ)＝(3n－2)λ＋n2－5n＋4，由题意知，ff，解得n≥4或n≤1.又n≥2，所以n≥4.综上可知，k的最小值为4.