一个三角函数模型在解题中的应用

一个三角函数模型在解题中的应用新世纪中学安利作为数学教育工作者，我们都知道，我们的任务不仅仅是教授数学知识，更要为宏扬数学文化，培养人们的数学素养，增强数学的应用意识而努力。但在我们的教学和实践中我们知道，最最实际的还是解题，要看一个人的数学能力如何就要看他的解题能力。但在浩如烟海的数学题中尤其是中考的几何综合题，我们不能盲目的去做，一道又一道的重复去做这样就会做很多无用功，而且让学生不知所措，不得要领。所以我们在教学中要引导学生在学习中不断的总结，提纲挈领找到本质的东西，才能让学生节省时间和精力学得更好。以前我们经常听一些专家说对于几何综合题，只要做会十道题就可以了，这可能是有点夸张，也可能是我们的水平还不够，但我们必须去努力去做，而不能无谓的等待。今天在这个时间里我把自己在教学中对中考几何综合题的一点体会和大家一起来分享一下，我们共同探讨中希望大家多提宝贵意见。对于解题中一般需要遵循的方法和技巧比如怎样审题，分析哪些条件是有用的，怎么用等，这些我就不多说了，大家可能在教学中都一直在强调。这里我想说的是我要们在平时教学中对大量的题目要尝试去分析、总结找到本质的东西方法和技巧告诉学生，而且要在平时的教学中去逐步的渗透。比如：我们比较熟悉的正方形问题、半角旋转问题等。八年级下正方形问题中有一个题：已知正方形ABCD点E是边BC的中点CF为∠DCB的外角平分线，作∠AEF=90°，交CF于点F，求证AE=EF这道题我们都会解，但做完这道题时我们是否做过这样的工作：让学生猜想如果点E不是中点行不行，有没有别的证法，哪种更好，或更具有代表性？比如可用三角形全等、旋转、平移变幻等都是可以的。但如果我们把它看成是互补角的旋转问题对我们以后做综合题会有很大的帮助，如右图。在这里我想说一个关于三角函数的模型的应用问题：模型是这样的：已知△ABC,tan∠B=a，tan∠C=b,BC=c求AB和AC的长。其特征为：已知三角形的一边长及夹这条边的两个角的正切值，求另外两边。我想这道题大家都会做，一般做法是这样的：过点A作AD⊥BC，设AD为x则BD为x/a,CD为x/b则有x/a+x/b=c从而求得x的值及BD，CD的值，进而求得AB，AC的值。题型和过程都很简单但在有些综合题中加以巧妙的运用会收到意想不到的效果。比如2010年香坊调研一中的27题是这样的：如图在△ABC中AB=2AC，点D在BC上，且∠CAD=∠B，点E为AB的中点，连接CE与AD交于点G，点F在BC上，且∠CEF=∠BAC。(1)若∠BAC=90°，如图1求证：EG+EF=2AC(2)若∠BAC=120°如图2些时线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为(3)在（2）的条件下，在∠BAD的内部作∠DAM=60°，∠DAM的一边AM交BC于点M，AM与CE交于点N，若AC=2，求线段MN的长。解：（1）（2）略（3）如图过点C作CH⊥AB交BA的延长线于点H，过点A作AR⊥BC于点R，过点N作NK⊥AB于点K.∠CAH=180°-∠BAC=60°，∠ACH=90°-∠CAH=30°，AH=12AC=1，CH=33AH，BH=AB+AH=5，BC=2227CHBH∵∠CAD=∠B，∴△CAD∽△CBA∴CACDADCBCABA∴CD=277，AD=477∵∠BAC=120°，∠DCA+∠B=∠DCA+∠DAC=60°∵∠DAM=60°∴△ADM为等边三角形，∴AM+DM=AD=477∴DR=12AD=277，CR=CD+DR=477，AR=22137DR，∵tan∠ACR32ARCR,∵∠MAB=∠ACB=60°-∠B∴tan∠NAK=tan∠ACR=32NKAK,∵AC=AE,∴∠ACE=∠AEC=30°,∴tan∠NEK=33NKEK设NK=3x，则AK=2x,EK=3x,∴AE=AK+EK=5x=2,解得25x∴AN=275,MN=AM-AN=4727677535类似的应用还有很多，都脱不开前面的模型体现了这一模型的重要性。同时，当已知图形中没有现成的这样的模型，而还适用这种方法，我们可以构造这样的模型来解决问题。如果我们在教学中能多发现有用的数学模型对于我们的教学和学生的学习都会有很大的助益，我在这里抛砖引玉以期得到大家的指点，和促进我们共同去探索这一领域。中考压轴题的探究——一个三角函数模型在解题中的应用方正县新世纪中学安利2011．2．15