一个材料问题可操作性的研究一道高考题的探究

1一个材料问题可操作性的研究——一道高考题的探究巴彦淖尔市奋斗中学0501班辛宇鹏指导老师：张红现代社会，材料科学已经发展成一门极热点、极实用、极具经济效益的学科。创造出更适用，更经济的新型材料势在必行，而在拥有一定材料的前提下如何合理充分地节省用料也是非常重要的。现在我们就以一道高考题为背景，简单研究一下材料的剪拼问题。2002年高考题中有一道有趣的压轴题，题目如下：（I）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2）要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线示在图1、图2中并作简要说明：（II）试比较你剪拼的正三棱锥与三棱柱的体积的大小。（III）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3中，并作简要说明。标准答案只给出一种解答方法，而我们根据波尔约—盖尔文定理——任意两个面积相等的多边形组成相等——可知该题的解法并不唯一，而是22312ax有无穷多种解法。关于无穷多种解法的证明此处就不再赘述。既然有无穷多种解法，那么该如何将其实现呢？为了解决这个问题，我接下来就为大家提供一种实际可操作的方法。一、剪拼：将正三角形从平面到空间剪拼成三棱锥（或三棱柱）要做两件事：平面图形的剖分和剖分图形的空间拼接。它们均涉及理论依据和实践操作两个思维角度,所以我们应首先明确三棱柱与三棱锥的几何特征。首先我们知道，将正三棱柱展开有以下特征：1、底面是两个全等的正三角形；2、侧面是3个全等的矩形且底边与底面三角形边长相等。根据这些特征我们可以制定总体的剪切方案：（Ⅰ）先裁出两个全等的等边三角形作为最后正三棱柱的底面；（Ⅱ）将剩余的面积等面积裁剪成三个全等的矩形作为正三棱柱的侧面。具体剪切方法如下面一组图所示：3（1）按图a所示，将等边三角形剪拼成矩形。（2）图b中的矩形，设较长的边边长为p，较短的边边长为q，则按图c所示的剪拼方法可以得到与原三角形面积相等的任意形状的矩形。（3）设裁剪成的矩形的一边为3x（此x具有任意性），按图d中的裁剪方法将所得矩形等面积分为三个全等矩形，取其中一个矩形ABCD继续进行裁剪。（4）在图e中，FG、分别是ADBC、的中点，做030DAE且AE与FG相交于E点，再取FE的中点M，过M作AD的平行线交ABCD、于''AD、，则矩形''ADDA便是我们所需裁剪的矩形。（5）按图f所示，将矩形''ADDA剪拼成如图所示等腰三角形（底角为30°）。（6）矩形ABCD的另一端可按照步骤（4）裁剪出与图g中全等的三角形，同理图d中另外两个矩形按步骤（4）也可剪拼出4个与图g中三角形全等的三角形，由这六个三角形可拼成两个全等的等边三角形（图h），再以这两个等边三角形为底面，矩形''''ABCD为其中一个侧面即可组成正三棱柱。下面我们再来剪拼正三棱锥。我们知道，将正三棱锥展开，具有以下特征：1、底面是正三角形；2、侧面是三个全等的等腰三角形，底边与底面4三角形边长相等。正三棱锥展开后有三种形式：根据上图，我们可制定裁剪正三棱锥的总体思路:（Ⅰ）在给出的正三角形中沿一边的平行线裁剪得到一个小正三角形做正三棱锥的底面；（Ⅱ）再把剩下的等腰梯形等面积变为三个全等的等腰三角形（底边与底面三角形边长相等）作为正三棱锥的侧面。具体做法是：其中步骤（Ⅱ）的具体过程如下：（1）将图a按图b所示裁剪成一个长为3(0.50.5),()2axax宽为的矩形。5（2）如图b所示，将三角形①②剪切后补到图示位置使图b的矩形变为图c中一边为1.5x的矩形。（3）（4）将图c中所得矩形按图d所示，剪切并移动即可得到图e中的梯形。图e中梯形可分为三个全等的等腰三角形（底边与底面三角形边长相等），和Ⅰ中得到的等边三角形即可组成正三棱锥。以上我们裁剪好的正三棱柱和正三棱锥具有任意性，那么正三棱柱和正三棱锥相比较谁的体积更大呢？而它们又在什么时候取得各自体积的最大值呢？接下来，我们就带着这些问题进行下一步说明。二、计算与比较：1、正三棱柱的体积为了计算简便，我们可把裁剪过程简化成如图过程：由图可得：22333()42xhxax解得223()(2)12hxaxx∴22()(2)16xVShxax柱底2、正三棱锥的体积易得：222221132()23341224aaxaxVShxxaxx锥底3、关于这两种形状的几何体的体积比较。Ⅰ、三棱锥中关于x的范围，需要考虑以下几个方面：61）三棱锥的高大于0；2）侧面顶角小于120°；3）侧面积大于底面积。三棱柱中关于x的范围，需要考虑的是：剪拼过程中保证三棱柱的高大于0即可。由以上限制条件可得正三棱柱和正三棱锥的x取值范围相同，即x∈2(0,)2aⅡ、体积大小的比较22224axVax锥22(2)16xVax柱因为其中x的取值范围相同，所以我们可直接进行做商比较：22322VaxVa柱锥可得：10(0,)6xa时，1VV柱锥即VV柱锥106xa时，1VV柱锥即VV柱锥102(,)62xaa时，1VV柱锥即VV柱锥4、拼成的正三棱柱、正三棱锥各自取最大值。1）、22224axVax锥2(0,)2xa令22()224axfxax2(0,)2xa则222222()224242aaxfxaxax令()0fx，则有2ax即可知2ax时，3296aV锥max=30.0147a72）、22(2)16xVax柱令22()(2)16xgxax则223()168axgx令()0gx则有66xa即可知66xa时，33max60.0170144aVa柱由计算结果可以看出：用相同面积的正三角形裁剪出的正三棱柱和正三棱锥，正三棱柱可能取得的最大体积较大。以上是正三棱柱和正三棱锥的剪拼和体积比较过程，有些同学可能会问：那用其他形状的材料剪拼成其他形状的几何体又是什么情况呢？确实，我们在日常生活中所见到的包装或容器，长方体这样的规则体较多。鉴于此，我们再拓展研究由矩形材料剪拼成正四棱柱的情况。一、剪拼：我们知道，正四棱柱展开，有以下特点：1、上下底面为正方形；2、侧面为四个全等的矩形，且一边与底面正方形边长相等。根据其特点，我们可制定总体的剪拼思路：（Ⅰ）剪切两个全等的正方形作正四棱柱的底面；（Ⅱ）将剩余的面积等面积剪切成四个全等的矩形作为正四棱柱的侧面。剪拼过程如下：8（1）将面积为S的矩形按图b所示剪拼成任意高x的平行四边形。（2）将高为x的平行四边形剪拼成一边为x的矩形。（3）在（2）中得到的矩形的两端裁去边长为x的正方形作为正四棱柱的底面且将剩余部分沿虚线平均分成一边为x的四个全等的矩形。则由这四个全等的矩形和两个正方形底面便可组成正四棱柱。二、计算1、关于x的取值由剪切过程可得：02sx2、正四棱柱的最大体积31(2)4Vsxx正四棱柱（02sx）令31()(2)4Fxsxx（02sx）则21()(6)4Fxsx令()0Fx得：6sx即当6sx时，32max636VS以上我介绍了几种简单的实际可操作的剪拼材料的方法，如果能把这些方法改进后用在产品包装的实际生产中，在上述几何体的基础上再稍加变形或正确选择包装的外形，便可达到既美观省料又有经济价值的双赢功效。而这只是节省材料的方法中的很小的一个方面，更加优化的方案还有待于我们继续探索。