一元二次方程根与系数关系教学案

一元二次方程根与系数关系（第1课时）【目标导航】1.会根据一元二次方程求出两根之和和两根之积.2.利用根与系数关系求代数式的值.【预习引领】问题：利用公式法求出一元二次方程20axbxc(0a)的两个根1x=，2x=；则12xx=______,12xx=_______.【要点梳理】归纳一元二次方程的根与系数之间存在下列关系⑴20axbxc(0a)的两个根为1x,2x,则12xx=______,12xx=______.⑵方程20xpxq的两根为1x,2x,则12xx=______,12xx=_______.注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题:①必须为一元二次方程(0a);②一定在有根的条件下(△≥0).练习不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：（1）2310xx；（2）23210xx（3）2230x；（4）2250xx答：（1）12xx=-3；12xx=1（2）12xx=32；12xx=－31（3）12xx=0；12xx=－23（4）12xx=-25；12xx=0已知方程一根,求另一根及未知系数的值.例1已知方程ax2-7x-6=0(a≠0)一根为2,求方程的另一根及a的值.答：将x=2代入方程得4a-20=0，a=5设另一根为m,∴2m=-56,得m=-531.已知方程2230xxm的一个根是12，求它的另一个根和m的值.答：将x=12代入方程得12-23-m=0，∴m=-1设另一根为2x，∴-2m=122x，故2x=1∴m=-1，另一个根为12.若一元二次方程22(1)230mxmm的一根为零，求m的值.答：将x=0代入方程，得，322mm=0，∴m=-3或m=1已知方程两根的关系,求未知系数的值例2若方程2380xxm的两根之比为3:2,求m的值.答：设两根分别为3n,2n,∴5n=38,n=158∴263nm∴m=218n=18)158(2=405011521.已知方程x2-2(m+1)x+m2-2=0,m=_-1___时,方程两根互为相反数;m=1时,方程两根互为负倒数.2.若方程20xpxq的一个根是另一个根的2倍,则p、q之间的关系是qp922不解方程求与根有关的代数式的值例3设1x、2x是一元二次方程22510xx的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1）12(3)(3)xx；（2）2212(1)(1)xx；（3）211211xxxx；（4）12xx.答：（1）12(3)(3)xx=12xx-3（12xx）+9=21-3925=2（2）2212(1)(1)xx=1212222112xxxx=12x+22x+2（21xx）+2=2)(22)(2121221xxxxxx=2252212)25(2=4112（3）211211xxxx=16112521251)25(1)()(2)(221212121221xxxxxxxxxx（4）12xx=2174)()(21221221xxxxxx根据题意，求方程中某些待定字母系数的值例4已知关于x的方程22(21)10kxkx有两个不相等的实数根1x、2x．⑴求k的取值范围；⑵k为何值时，1x与2x互为倒数.答：（1）依题意得：04)12(22kk故得41k（2）12xx=112k，得1k，而41k故，1k1.已知方程22(21)20xkxk的两实根的平方和等于11，k的取值是（C）A．－3或1B．－3C．1D．32.当m-6时，方程250xxm的两根之差是7.例5已知关于x的方程2320xmx的两根的平方和为139，求m的值.答：设两根分别为,,21xx则，12xx=3m12xx=32，所以，2221xx212212)(xxxx=1,9133492mm3.已知关于x的一元二次方程222(2)(4)0xmxm有两个实数根,并且两个根的平方和比两根的积大21.求m的值.答：设两根分别为,,21xx则，12xx=)2(2m12xx=42m21212221xxxx213)(21221xxxx421)4(3)2(22mmm=17或m=-1方程有实数根0,0)4(4)2(422mmmm=-1例6已知关于x的一元二次方程2(21)10xkxk（1）试判断此一元二次方程根的存在情况；（2）若方程有两个实数根21xx和，且满足11121xx，求k的值．答：054)1(4)12(22kkk方程有两个不相等的实根12xx=)12(k12xx=1k2111211212121kkkxxxxxx例7已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.答：依题意得，（1）31,0)1(4)1(42kkkk（2）假设存在k满足题意，设两根分别为,,21xx则，12xx=kk)1(212xx=kk1,101)1(211212121kkkxxxxxx这与31k矛盾，故不存在k满足题意。例8当k取何值时，一元二次方程2(23)240xkxk（1）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3.答：设两根分别为,,21xx则，12xx=32k12xx=42k2222)52(252041689124)42(4)32(kkkkkkkk（1）有两正根，则12xx012xx0，故2k（2）依题意，得12xx012xx0，故25.1k（3）依题意，得方程的两个根中，一个大于3，一个小于3，只须且仅须f(3)0即9-3(2k-3)+2k-404k-140k7/21.关于x的一元二次方程0122xax的两个根同号，则a的取值范围是0＜a≤22.若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根x1，x2，且x1·x2＞x1＋x2－4，则实数m的取值范围是（D）A．m＞53B．m≤12C．m＜53D．53＜m≤123.已知21xx、是一元二次方程01222mxx的两个实根.⑴求实数m的取值范围；⑵如果m满足不等式22212147xxxx且m为整数，求m的值.答：.Δ=4-8-8m=-4-8m≥0∴m≤-1/22.x1x2=（m+1）/2x1+x2=1原不等式可改写成：7+6x1x2＞(x1+x2）^2即3m+10＞1∴m-3∴m=-1或m=-2【课后盘点】1.已知方程22230xx的两根为1x和2x，则12xx=1，12xx=232.已知方程2390xxm的一个根是1,则m的值是__6______，另一根为2.3.若方程22(4)0xmxm的两根互为相反数，则m=-2.4.两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为(D)A．6B．-6C．4D．-45.若一元二次方程02mxx有两个不相等的实数根x1、x2，且满足21121xx，则m的值是（B）A．2B．21C．21D．26.已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则1211xx的值是(A)A.3B.－3C.13D.17.已知α、β是方程2320xx的两根,求α2+αβ-3α的值.答：α+β=3，αβ=2，故原式=α（α+β）-3α=08.已知实数a、b分别是方程22630xx两根,求3222626aaabab的值.答：由2a³-6a²+2a²b-6ab=2a（a²-3a+ab-3b）=2a[a(a-3)+b(a-3)]=2a(a-3)(a+b)∵2x²-6x+3=0,a1=(3+√3)/2，a2=（3-√3）/2b1=(3-√3)/2，b2=（3+√3）/2a+b=3代入：2a（a-3)（a+b）=2（3-√3）/2×3=9-3√3.或者2（3+√3）/2×3=9+3√3.9.已知关于x的方程260xxk的两个实数根是1x、2x，且221212115xxxx（1）求k的值；（2）求22128xx的值.答：（1）12xx=612xx=k)()(21221212221xxxxxxxx=11562kK=11而36-4k9,0k故K=-11（2）22128xx=82)(21221xxxx=36-2k+8=6610.已知关于x的方程x2－2(m+1)x+m2=0.（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数．．．．，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和.答：由题可知b^-4ac=[2(m+1)]2-4m20故，m-1/2(2)m=4x²-10x+16=0(x-2)(x-8)=0x=2,x=822+82=6811.已知关于x的方程062mxx(m为正整数)有两个实数根1x、2x,分别求下列两式的值:（1）(x1-1)(x2-1)；（2）362xx答：12xx=612xx=m(x1-1)(x2-1)=12xx-(12xx)+1=m-6+112.已知双曲线3yx和直线2ykx相交于点11(,)Axy和点22(,)Bxy，且221210.xx求k的值.答：y=3/x=kx+2kx2+2x-3=0则x1+x2=-2/kx1x2=-3/kx1²+x2²=(x1+x2)2-2x1x2=4/k2+6/k=105k2-3k-2=0k1=1k2=-2/5所以k=1或k=-2/513.已知关于x的方程220xkxkn有两个不相等的实数根1x、2x,且21212(2)8(2)150xxxx.（1）求证：0n；（2）试用k的代数式表示1x；（3）当3n时,求k的值.答：（1）∵关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根，∴△=k2-4（k2+n）=-3k2-4n＞0，∴n＜-k2．又-k2≤0，∴n＜0．（2）∵（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0，x1+x2=k，∴（x1+x1+x2）2-8（x1+x1+x2）+15=0∴（x1+k）2-8（x1+k）+15=0∴[（x1+k）-3][（x1+k）-5]=0∴x1+k=3或x1+k=5，∴x1=3-k或x1=5-k．（3）∵n＜-k2，n=-3，∴k2＜4，即：-2＜k＜2．原方程化为：x2-kx+k2-3=0，把x1=3-k代入，得到k2-3k+2=0，解得k1=1，k2=2（不合题意），把x1=5-k代入，得到3k2-15k+22=0，△=-39＜0，所以此时k不存在．∴k=1．一元二次方程根与系数关系（第2课时）【目标导航】1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.能灵活运用一元二次方程根与系数关系解决问题.3.提高综合应用知识解决较复杂问题的能力.【预习引领】小王问小李：“有两个实数，它们的和为2，积为4，这两个实数是多少？”小李略加思考后说：“这两个数不存在．”小李的回答正确吗？为什么？⑶以两个数1x、2x为根的一元二次方程(二次项系数为1)是____例1已知两数之和为-7，两数之积为12，求这两个数.答：以这两数为根的一元二次方程为x2+7x+12=0(x+3)(x+4)=0X=-3或x=-4故，两数为-3或-41.以2，-3为根的一元二次方程是（B）A．260xxB．260xxC．260xxD．260xx2.以3，-1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是