一次函数是初中阶段重要的学习内容之一

1树立建模思想，学好一次函数一次函数是初中阶段重要的学习内容之一，由于函数内容很好的体现了“数形结合思想”，因此在多数省份的中考题中，所占比例较大，特别是2011年秋季起实施新课程标准以来，中考命题中一次函数作为了重点考查内容，这是因为新课标对“二次函数”、“相似形”、“圆”、“三角函数”等诸多以往中考命题重点内容都降低了要求.黑龙江省2005年之前除哈尔滨市外中考都是全省统一命题，2006年之后由各市组织中考命题工作，几年来中考试题出现了百花齐放的局面，各市每年都有一道一次函数大题来考查学生的综合能力，因此，加强八年级第一学期的《一次函数》一章的教学显得尤为重要.学生学习这一章也要在体会数学建模思想上多下功夫，以备迎接将来的中考.下面拿几道典型题来进行分析，供大家参考.例1、武警战士乘一冲锋舟从A地逆流而上，前往C地营救受困群众，途经B地时，由所携带的救生艇将B地受困群众运回A地，冲锋舟继续前进，到C地接到群众后立刻返回A地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．（1）请直接写出冲锋舟从A地到C地所用的时间．（2）求水流的速度．（3）冲锋舟将C地群众安全送到A地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与A地的距离y（千米）和冲锋舟出发后所用时间x（分）之间的函数关系式为11112yx，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离A地多远处与救生艇第二次相遇？（2008年双鸭山市中考题）分析：第（1）小题虽然是让直接写出从A地到C地D的时间，也要通过计算来完成，通过阅读可知道O点的坐标为（0，0），B点的坐标为（12，10），先求出过O、B两点的一次函数解析式再把y=20代人即可求出从A到C所需的时间；（2）可求得A到C冲锋舟逆水速度为56千米/分钟，从C返回A顺水速度为1千米/分钟，由公式：船的逆水速度=船在静水中的速度-水流速度，船的逆水速度=船在静水中的速度+水流速度，可求出水流的速度.（3）由于群众上下船的时间忽略不计，冲锋舟的速度和水流速度不变，可以设冲锋舟第二次出发的一次函数解析式为：y=56x+b,与已知的11112yx组成方程组，从而求出y的值，即为冲锋舟第二次出发与A地的距离.解：（1）24分钟；（2）设水流速度为a千米/分，冲锋舟速度为b千米/分，根据题意得x（分）y（千米）O10201244224()20,(4424)()20baab，解得1121112ab答：水流速度是112千米/分；（3）因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设冲锋舟第二次出发所在直线的函数式为：y=56x+b，把（44，0）代人，求得b=-1103,所以冲锋舟第二次出发所在直线的解析式为y=56x－1103.由111,12511063yxyx求出（52，203）这一点坐标，所以冲锋舟在距离A地203千米处与救生艇第二次相遇.点评：此题曾作为《学习报》2011年“第17届全国中小学数学公开赛”八年级竞赛题.试题所提供的文字信息和图象信息结合紧密，需要具备一定的阅读能力和读图能力，要求学生能结合问题情境来建立数学模型，是一道难得的好题.例2、两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向b地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：（1）求甲、乙两车的速度，并在图中（_______）内填上正确的数：（2）求乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式；（3）当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少？（2011年牡丹江市中考题）分析：（1）由已知图象求出甲、乙的速度．（2）根据图象上的点先求出乙车从B地返回到C地的函数解析式，（3）再由设甲车从A地到B地的函数解析式是y1=k1x+b1，和甲车从B地到C地的函数解析式是y2=k2x+b2，由已知求出解析式结合（2）求出的解析式求解．3解：解（1）由已知图象得：甲的速度为100km/h，乙的速度为50km/h，答：甲、乙两车的速度分别为100km/h，50km/h．（2）设乙车从B地返回到C地的函数解析式是y乙=kx+b∵图象经过（5，0），（9，200）两点）．∴5k+b=09k+b=200，∴05,2009.kbkb解得：50,250kb∴y乙=50x﹣250，答：乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=50x﹣250．（3）设甲车从A地到B地的函数解析式是y1=k1x+b1，∵图象经过（0，600），（6，0）两点，∴111600,06bkb，解得：11100,600kb∴y1=﹣100x+600，设甲车从B地到C地的函数解析式是y2=k2x+b2，∵图象经过（8，200），（6，0）两点，∴222206,2008.kbkb，解得：22100,600.kb，∴y2=100x﹣600.由150250,100600yxyx乙和250250,100600.yxyx乙，解得：y=（千米）和y=100（千米）．点评：此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是根据图象先求出甲、乙的速度，再4根据图象上的点先求出乙车从B地返回到C地的函数解析式，再由设甲车从A地到B地的函数解析式是y1=k1x+b1，和甲车从B地到C地的函数解析式是y2=k2x+b2，由已知求出解析式结合（2）求出的解析式求解．练习题：1、因南方旱情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式给予以支援下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？（3）求直线AD的解析式．（2010年双鸭山市中考题）[答案：（1）400(万米3/天)；（2）第10天时乙水库的蓄水量为300万立方米；（3）y=350x–3200.]2.汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：（1）请直接在坐标系中的()内填上数据。（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围。（3）求乙车的行驶速度。（2011年佳木斯市中考题）xyoDCAB180E1（）（）F3（小时）（）（千米）甲车乙车第25题图5[答案：（1）纵坐标的空为：120；横坐标从左到右依此填空为：1.2，2.1.（2）y=-60x+200(43≤x≤2.1).（3）7409（km/h）]