一道导数压轴题突破的过程

1一道导数压轴题突破的过程1问题缘起最近复习函数与导数，笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题，效果不是特别理想，很多学生做对第一问，第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时，方法是否得当，常常是问题能否顺利解决的关键所在。在解题时学生一般从条件出发，观察试验，向前推进，但经常是阻碍重重，失去方向，只能望题兴叹。如何进行有效的引导，教会学生突破导数的压轴题呢？笔者在教学中发现，应在方法的突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。例题（2009年南京市高考模拟试题）已知定义在实数集R上的偶函数)(xf的最小值为3，且当0x时，aexfx3)(（a为常数）.（1）求函数)(xf的解析式；（2）求最大的整数)1(mm，使得存在实数t，对任意的],1[mx，都有extxf3)(.本题难度接近高考，考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能，第一问较简单，第二问和不等式结合且字母较多，再加上“存在”和“任意”的表述，难度较大。如何突破，教学过程如下。2教学片段2.1经历了思维的困境，对方法进行反思教师出示问题，请同学快速做答，因为第一问较容易，学生很快完成，但第二问明显卡壳，推进缓慢，教师巡视。师：（十五分钟后）大部分同学都有了自己的想法，但能成功解决的并不多，现在请大家谈谈自己的想法和做法。生1：第一问我很快得出结果，过程如下：（1）因为xey是增函数，所以当0x时，)(xf也是增函数.又因为)(xf是偶函数，所以afxf3)0()(min，又)(xf最小值是3，故0,33aa.当0x时，因为0x，所以xexfxf3)()(.综上知，0,30,3{)(xexexfxx师：很好，即使是压轴题，第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢？生1：第二问我尝试特殊化，将端点代入etf3)1(得到一些不等关系，过程如下：（2）因为],1[mx时，有extxf3)(，故etf3)1(.当01t时，eet331，eet1，11t，01t；当01t时，同理可得，12t；从而02t.同样地，由emtmf3)(及2m，得mteeme.由t的存在性知，上述关于t的不等式在区间]0,2[上必有解.2到这里我就不知道怎么解决了。师：巡视过程中我发现很多同学用这种方法，都是取两个端点代入，但大部分同学都和生1一样无法继续突破，那么就用这种方法，如何有效突破难点呢？请大家继续思考！2.2解法突破的过程2.2.1导数开路，零点帮忙，巧渡难关过了十分钟，有同学举手。生2：我也是用生1的方法，得到关于t的不等式mteeme在区间]0,2[上必有解.因为te在区间]0,2[上的最小值为2e，所以meeme2，即03meem①令),2[,)(3xxeexgx，则3')(eexgx，由0)('xg，得3x.当32x时，0)('xg，)(xg是减函数；当3x时，0)('xg，)(xg是增函数；故)(xg的最小值是02)3(3eg又0)21()2(2eeg，0)4()4(3eeg，而0)5()5(23eeg由此可见，方程0)(xg在区间),2[上有唯一解)5,4(0m，且当02mx时，0)(xg；当0mx时，0)(xg.即在),2[x时满足不等式①的最大实数解是0m.而当],1[,20mxt时，)(33)2(12xeeexxfx，在]2,1[x时，因为1112xxee，所以03)2(exxf；在],2(0mx时，0)(3)(3)(33)2(2323xgexeeexeeexxfxx.综上所述，m的最大整数值是4.师：很好！生2构造函数，然后利用导数求最值，结合零点定理逐步缩小并确定m的值。这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到，希望同学们能熟练掌握！2.2.2先猜后证，正反结合，旗开得胜生3：我感觉整数m的值不会太大，所以我通过特殊值先猜出m的值为4，再进行证明，非常高兴我成功了！过程如下：满足条件的最大整数m为4.先证4m符合题意，取,2t当]2,1[x时，因为eexeeexfxx33,333)2(22，所以exxf3)2(；当]4,2(x时，)(3)(33)2(3)(323xeeexeeexxfextxfxx，令xeexgx3)(，则3')(eexgx，由0)('xg，得3x.当32x时，0)('xg，)(xg是减函数；当43x时，0)('xg，)(xg是增函数；3故)(xg的最大值是)2(g和)4(g中的较大者.因为0)21()2(2eeg，0)4()4(3eeg，故0)(xg，即当]4,2(x时，03)(extxf.再证5m时不符合题意，因为不等式extxf3)(对1x成立，所以必有]0,2[t，因为0)5(3)5(315)5(244eeeeeeetft，所以etf15)5(，这说明5x时extxf3)(不成立.综上所述，m的最大整数值是4.师：生3的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解，有时我们可以先猜后证，这样我们相当于先得到结果，这样就占据了主动，目标就十分明确，更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题，这种突破方法屡见不鲜，应加以足够的重视！2.2.3恒等变形，变量分离，出奇制胜生4：我通过变形转化为非常基本的问题，更加简捷易懂。由（1）得到0,30,3{)(xexexfxx，我想这不就是绝对值函数吗，得到xexf3)(代入extxf3)(得到exetx33，由题exetx33对],1[mx恒成立，即xtxln1所以xtxxln1ln1，xxtxxln1ln1．令xxxgln1)(，011)('xxg，所以2)1()(maxgxg；令xxxhln1)(，011)('xxh，mmmhxhln1)()(min，要使t存在，只要mmln12，即03lnmm．令3ln)(mmmk，则011)('mmk，所以)(mk在),1(上为单调减函数，且025ln)5(,014ln)4(,03ln)3(kkk.所以满足条件的最大整数m的值为4．师：十分精彩！生4的做法简捷明了，既避免了分类讨论，又将这一较难问题转化成十分基本的问题。关注细节的变化，威力往往是巨大的，难点的突破显得那么自然，那么通俗易懂，这是我们突破难点的非常高的境界。3教后反思：面对具体问题，特别是压轴题，学生本身潜意识就有一点恐惧的心理，教师要灵活选择教学方式，舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程，分析其思维受阻原因及对策，发现不足，扬长避短。较难问题往往不止一种解法，高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法，每一种解法都是一个思维的结果，然而教师往往忽视思维形成的过程，学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者，并没有切身的体会，思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思，不仅能有效地帮助学生巩固4知识、技能，而且对提高学生思维品质有特殊功效。反思的内容主要有：（1）解题涉及的知识方法有哪些？它们之间有何联系？解题过程能否简化？解题方法能否优化？哪些步骤上容易发生错误？原因何在？如何防止？（2）解题时用了哪些思维方法？解法是如何分析而来的？解法是否具有普遍意义？有何规律？（3）解决问题的关键何在？如何进行突破？是否还有其他不同的解法？在找到多种解法的前提下，哪种方法最优？最合理？其中的道理是什么？（4）在解题过程中最初遇到哪些困难？后来又是如何解决的？相信通过这样的思考，学生的能力一定会得到很大的提高。