一道高考题的探究性学习(2009.10)

一道高考题的探究性学习姜军（浙江省江山中学，324100）（Email：[e-mail]电话：[phone]）探究性学习能否富有成效地开展，一个很重要的原因是选取适宜的探究问题.正如前苏联数学家奥加涅相说过“很多习题潜在着进一步扩展其数学功能和教育功能的可行性.”高考题源于课本,立足基础,考查能力,是开展探究性学习的极佳素材.下面以一道高考题为例,把课本知识自然延伸,适当拓宽,培养学生的探索精神,提高学生的创新能力.1问题引入,诱导发现题目(2007年高考江西卷文科第8题）若π02x，则下列命题正确的是（）Ａ．2sinπxxＢ．2sinπxxＣ．3sinπxxＤ．3sinπxx解答本题方法较多,如图象法、特殊值法、导数法等，一般学生都能得到答案选B.但本题实质上反映的是函数sin()xfxx在区间π(0,)2上的取值范围问题,有必要对函数sin()xfxx的性质作进一步的探究.2深入探究,揭示性质性质1函数sin()xfxx在区间(0,]上单调递减.证明:由已知得2cossin(),xxxfxx令()cossin,gxxxx()sin.gxxx由(0,]x，可得()0,gx()gx在区间(0,]上单调递减.()(0)0,gxg()0,fx()fx在区间(0,]上单调递减.性质2函数sin()xfxx在定义域(,0)(0,)上是偶函数.证明:设(,0)(0,)x,则有(,0)(0,).xsin()()xfxxsinxxsin(),xfxx函数()fx在定义域(,0)(0,)上是偶函数.性质3函数sin()xfxx在区间(0,]2上为凸函数.证明:由题意得2cossin(),xxxfxx2cossin()()xxxfxx23sin2cos2sin.xxxxxx令2()sin2cos2sin,gxxxxxx22()2sincos2cos2sin2cos0,gxxxxxxxxxxcox()gx在区间(0,]2上单调递增.()(0)0,gxg于是得()0,fx函数sin()xfxx在区间(0,]2上为凸函数.性质40sinlim1.xxx证明:略.有兴趣的读者可以参考刘玉琏、傅沛仁主编的《数学分析讲义》(上册)第三版第87页的证明，也可由洛必达法则直接求得.3变式化归,尝试应用例1(2007年高考江西卷理科第5题)若π02x，则下列命题中正确的是()A．3sinπxxB．3sinπxxC．224sinxxD．224sinxx解:令sin()xfxx,24()gxx.由性质1知()fx在区间(0,)2上单调递减,且22lim()xfx;又()gx在区间(0,)2上单调递增,且2242lim()2xgx,故答案选D.例2(2008年高考全国卷Ⅱ第22题)设函数sin()2cosxfxx．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x，都有()fxax，求a的取值范围．解：（Ⅰ）由题意易得：()fx在每一个区间2π2π2π2π33kk，（kZ）是增函数，在每一个区间2π4π2π2π33kk，（kZ）是减函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）及函数()fx是以2为最小正周期的周期函数，于是有：()(0)fxaxx恒成立2()([0,])3fxaxx恒成立sin(2cos)xaxx2((0,])3x恒成立.由性质4可令10;()sin2(0,].3xgxxxx,()(2cos)hxax,2()([0,])3fxaxx恒成立,即()gx()hx2([0,])3x恒成立,根据性质1、性质3作出()gx、()hx的图象，由图象可知只需(0)(0)gh，即13a，解得1.3a故a的取值范围是1[,)3.4引申拓展,提高能力例3如果对任意一个三角形,只要它的三边长,,abc都在函数()fx的定义域内,就有(),(),()fafbfc也是某个三角形的三边长,则称()fx为“保三角形函数”．试证明函数()sin,(0,)2fxxx是保三角形函数.证明:设,,abc是某三角形的三边且02abc,则sinsinsinabc,故只要证明sinsinsinbca.（1）若abc,结论显然成立.（2）若,,abc不全相等,则02acb,sinsinsin()sinbcacc,又sin()sinaccsina()()()()acgaccgcaga()[()()][()()]acgacgacgcga,由性质1知函数sin()xgxx在区间(0,)2上单调递减,()()0,()()0gacgagcga,()[()()]acgacga[()()]0cgcga,即sin()sinaccsin0a,sin()sinsinacca,sinsinsinbca,故函数()sin,(0,)2fxxx是保三角形函数.由上面证明过程,可得如下命题:命题1:设()fx是R上的可导函数,()()fxgxx是R上的减函数,则对任给的12,xxR,不等式1212()()()fxxfxfx成立.证明:()gx是R上的减函数，121()()0,gxxgx122()()0,gxxgx于是121()()fxxfx2()fx121211221121()()()()[()()]xxgxxxgxxgxxgxxgx2122[()()]0xgxxgx，1212()()()fxxfxfx.命题2:设集合(0,)Dm,()fx是定义在D上的可导增函数,且()fx恒为正,()()fxgxx是D上的减函数,则()fx是定义在D上的保三角形函数.证明:设123,,xxxD,123,,xxx是某三角形三边,不妨设1230,xxx则123()()()0,fxfxfx且123.xxx若123xxx,结论显然成立.若123,,xxx不全相等,则1320xxx,13xxD,由命题1得,133133()()()fxxfxfxxx1()fx,又132()(),fxxfx231331()()()()()fxfxfxxfxfx,123(),(),()fxfxfx是某三角形三边,命题得证.参考文献:[1]蒋晖.函数sin()xfxx的性质及应用.福建中学数学,2009(2).[2]陈勇军,陈颖.一道调研试题的别解、变题及其背景.中学数学教学,2009(3).