《中小学数学中的“为什么”》撰写要求

1《中小学数学中的“为什么”》撰写要求数学教育，自然是以“数学”内容为核心。数学教学的优劣，自然应该以学生是否能学好“数学”为依归。也就是说，方法与手段必须为数学内容服务。可惜的是，这样的常识，近来似乎不再正确了。一提到教师培训、业务研讨，大家想到的都是教学理念，数学教学的技巧与方法，而数学学科知识本身则受到冷落。人们经常把教学喻为艺术，所以往往对教学方法研究情有独钟。研究教学导入的艺术，研究指导探究的艺术，研究练习设计的艺术……但作为一名数学教师，却唯独忘了研究数学本身，研究那些貌似简单却内涵深刻的中小学数学知识。“木桶效应”告诉我们，一位教师某方面素质的缺失，就会影响他全部能力的发挥。以其昏昏，使人昭昭，显然要误人子弟。作为一名数学教师，我们需要经常问自己：“我懂数学吗？”还要不断反思：“怎样使自己成为一名懂数学的数学教师？”因为数学教师的数学理解水平，直接决定了学生的数学理解水平，影响了学生的数学认知兴趣和数学认知能力的发展。比如，虽然孩子们从幼儿园就开始学算术，但很多人并没有真正理解数学是什么，心中仍充满疑问：为什么计算时要先乘除后加减？负数乘以负数为什么会得到正数？数学课上，我们只说“0不能作除数”，却不告诉这是为什么；课本里，全是干巴巴的概念、定理，怎么看也不明白。结果孩子们已经很努力了，考出来的成绩还是一塌糊涂；抑或是，尽管解题能力很强，分数很高，但往往是“会而不懂”，会机械做题，但不理解数学，数学学习演变成了一种形式化的、无意义的、机械式的解题训练。曾在2001年获得国家科技最高奖的“杂交稻之父”袁隆平院士说过：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，我搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说‘你记得就是’；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这样？还是教师的教学使然？记得在几年之前，知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才。”波利亚早在青年时代，由于不满足于教师那种照本宣科式的讲述和教科书上那种突如其来的、“像是帽子里跑出一只兔子”式的证明，从而开始探索数学中的发明创造问题。面对一个数学定理和巧妙的证明，他问自己：数学家是怎样发现这个定理的？是什么促使数学家想到了这个证法？在执教之后，他竭力帮助学生弄清定理和证明的来龙去脉。2而我是在成为一名数学教育研究工作者后，才开始经常不停地自觉追问和反思：为什么要提出这一数学概念？为什么要这样而不是那样对概念下定义？为什么要作出这样的数学约定？如此等等。追问之后暂时不得其解，便会查阅资料、求教专家，从而渐渐发现，问的为什么越多，得到的学问就可能越多；问的为什么越深，认识就必然越透彻、深入。如此，我们在数学教学中，才可能真正做到“不仅讲推理，更要讲道理。”我们认为，通过从数学角度进行追问，至少可以实现以下目的：首先，可以形成正确认识。比如，可有效避免出现诸如“自然数的个数比偶数的个数多”等科学性错误。其次，可以获得深层理解。比如，通过对自然数内涵的追问，可获得其基数含义和序数含义的全面、深刻的理解。第三，可以拓展学科知识。比如，追问“一元三次方程有求根公式吗”“是否存在等和数列与等积数列”？最后，可以获得较高观点。比如，追问“函数难道不能一对多吗？”“二分法是逼近函数零点的唯一方法吗？”等。《中小学数学中的为什么》将以理解数学为线索，以克服和解决“会而不懂”现象为目的，通过追问和回答中小学数学中的诸多“为什么”，帮助我们厘清中小学数学中的诸多疑难困惑。为了方便您的撰写，请注意以下事项：1、案例篇幅不限，但以500－3000字为宜，体例、形式不限。2、根据自己的体会和擅长来撰写，内容既可以是小学和初中数学方面的，也可以是高中数学方面的。3、案例可以原创，可以改编（标注参考文献）。4、案例应具有较高的层次性。多数人所熟知的事实，尽可能不涉及或少涉及（比如，“为什么根号2不是有理数”，“为什么边边角不能作为三角形全等的判定定理”等）。5、涉及数学理解方面的“为什么”，既可以是微观层面的（比如“指数函数中为什么要规定a0”[显然不是为了使定义域为R]），也可以是中观层面的（比如“面积和体积是怎么来的”），还可以是宏观层面的（比如“代数的本质究竟是什么”）。6、文后附有几个案例，供您写作时参考！3小学示例：零为什么不能作除数在《乘除法的认识》的教学中，对于“0不能做除数”的规定，常说“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”,许多教师往往只是把它当作一个结论来处理，强调“0做除数，没有意义”。其实这正是“乘除法关系”的一个极好的例子。究竟“零为什么不能做除数”呢?这可从两个方面谈起：一、当被除数是零，除数也是零时，我们可写成0÷0=X的形式，看商X是什么？根据乘法与除法互为逆运算的关系有：被除数=除数×商，这里除数已为零，商X无论是什么数（是正数、负数、零）、与零相乘都等于零。即0=0×X，这样商X是不固定的。X是任何数与零相乘都等于零。我们知道四则运算的结果是唯一的，这就破坏了四则运算结果的唯一性。在这种情况下，我们简单地说：“被除数和除数都为零时，不能得到固定的商。”二、当被除数不为零时，而除数为零时的结果看，我们可写成5÷0=X，商X无论是什么数，与除数“0”相乘都得零，而不会得5，即0×X≠5或其他不是零的数。我们简单地说：“当被除数为零，而除数是零时，用乘除法的关系来检验，是‘还不回原的’”。所以，“0”在4种运算中，就是不可以以除数的身份出现。鉴于以上两种情况：一是零做除数不能得到固定的商；二是零做除数还不回原。因此说：“零做除数没有意义”或“规定零不能做除数”。自然数的个数比偶数的个数多吗？一位教师教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并引导学生探究偶数和奇数的特点。有的学生便发现，“偶数的个数是无限的，自然数的个数是偶数的2倍。”因为“自然数是按一个偶数一个奇数，又一个偶数一个奇数这样的顺序排列的，偶数与奇数的个数一样多，所以说，自然数的个数既是偶数的2倍，也是奇数的2倍。”于是，这位老师便对学生的“发现”大加赞赏。表面上看好像偶数集和奇数集中元素的个数各占自然数集中元素个数的一半，其实这种说法是错误的，错误源于教师学科知识的贫乏和应对问题的轻率。若能多做一些追问与反思，并能及时求教与学习，便可获得一种关于无限中“多少”的高观点。在大学数学中，把能与自然数集N建立一一对应的集合，叫做可数集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号，那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1，a2，a3，…an，…。例如，全体正偶数的集合是一个可数集，全体正奇数的集合也是可数集，它们与自然数集可以建立一一对应关系。显然，一个可数集可以含有可数的真子集，反过来，两个可数集也可以并成一个可数集。整数集与有理数集都是可数集。按照基数概念，能一一对应的两个集合的基数相同，于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数。就这一意义而言，这些集合所含元素是“一样多”，但这些集4合又是一个包含另一个作为真子集，所以又不同于有限集元素的“多少”概念。值得注意的是，并非所有的无穷集都是可数集，因为康托尔证明了实数集不是可数集，这样，实数集与自然数集有不同的基数，因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。初中示例：为什么要规定负负得正？乘法运算的法则“负负得正”只是一种规定，数的运算法则本来是规定的，而不是推导出来的。先规定运算法则，然后研究运算律是否成立。当然，怎样规定运算法则，不能是任意的，要看数系本身的性质。如为了反映客观实际的某种数量关系，从而解决有关的实际问题。这样看来，从理论上说，不讲为什么，只说说“负负得正”是一种规定，让学生记住并能运用，是正确的。但数学理论上正确的东西，落实到教学上并不妥当，因为它不符合学生的学习心理：知识抽象的规定，而完全没有现实意义的东西，对学生的思维发展是不利的。甚至打击学生学习数学的乐趣。事实上直到19世纪中叶以前，负负得正的运算，则在学习代数课本中并没有得到正确的解释，法国文豪司汤达（1783—1843）在学生时代就曾被这个法则困扰了很久，他的两位数学教师迪皮伊先生和夏倍尔都未能给他一个令他信服的解释，司汤达因而对数学和数学教师产生了不信任感，他说：“到底是我的两位老师在骗我呢还是数学本身就是一场骗局呢？”显然为了减少学生学习负数乘法运算的理解困难，利用生硬的“规定”的方法直接引入负负得正的法则是不可取的。下面是引入方法帮助同学们理解。每个孩子都是听着故事长大的。所以，他们应当对故事有着更多的兴趣和热情。而对于学生来说。对比较强烈的概念会给他们留下较为深刻的印象，如好与坏、善与恶等。下面这个模型应该可以给学生以更直观的感受。故事模型好人（正数）或坏人（负数），进城（正数）或出城（负数），好（正数）与坏（负数）。如果好人（+）进城（+），对于城镇来说是好事（+），所以（+）×（+）=+；如果好人（+）出城（-），对于城镇来说是坏事（-），如果坏人(-)进城（+）对城镇来说是坏事（-），即（-）×（+）=-；如果坏人(-)出城(-)，对于城镇来说是好事(+)，所以（-）×（-）=+。“负债”模型一人每天欠债5美元，给定日期（0美元）3天后欠债15美元。如果将5美元的债记成-5，那么每天欠债5美元欠债3天可以数学来表达：3×（-5）=-15。同样一人每天欠债5美元，那么给定日期（0美元）3天前，他的财产比给定的日期的财产多15美元，如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况可表示为（-3）×（-5）=15现实模型不足以让司汤达这样的聪明孩子完全信服。这时候，我们还可以用如下方法来5解释为何“负负得正”。（-1）×（-1）=（-1）×（-1）+0×(-1)=（-1）×（-1）+[(-1)+1]×1=（-1）×（-1）+(-1)×1+1×1=(-1)×(-1+1)+1=1上面的“证明”严格地说不过是一种解释而以。因为我们的依据是正数和零所满足的运算律包括：0+a=a，0×a=0;a+b=b+a；a×b=b×a;等。19世纪德国数学家汉克尔早就告诉我们。在形式化的算术中，“负负得正”是不能证明的，大数学家克莱恩也提出忠告：不要试图地去证明符号法则的逻辑必要性，“别把不可能的证明讲得似乎成立”。实际上上面的“证明”表明：当我们把非负整数所满足的运算律用于负数时，两个负数相乘的结果只能是正数。数集扩充所遵循的原则之一就是运算律的无矛盾性。诚然，你可以规定“负负得负”，但是这样做时，你至少必须放弃正整数集所满足的其中一个运算律。这大概是我们能向汤姆达亮出的最后一张底牌了。然而，数学教育研究结果表明:孩子知识的建构并不是通过演绎推理，而是通过经验收集、比较结果、一般化等手段来完成的，仅仅向学生讲述运算率并不能收到你所期望的效果，因为学生并不情愿利用这些运算率。这与历史的启示是一致的，无疑，现实模型是我们不可缺的教学方法。有了角度制为什么还要引入弧度制不少参考书上认为，在角度制里，三角函数是以角为自变量的函数，对研究三角函数的性质带来不便，引入弧度制后，便能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，从而将三角函数的定义域放到实数集或其子集上来。事实果真如此吗？实际上，任何一种角的度量体制，都相应建立了角的集合到实数集合之间的一一对应。这一点并不是弧度所独有的性质。引起这种误解的原因，可能是因为通常用弧度制表示角的时候，总是略去了弧度单位。这使一些人误将表示角的弧度的弧度数值——度量意义的实数与一般意义的实数混同在一起，出现了不恰当的理解。其实，无论是角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集合之间建立一一对应关系，但采用弧度制更为方便。如用角