《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练3-5

-1-《优化探究》2014高考数学总复习（人教A文）提素能高效题组训练：3-5[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难给角求值17给值求值2、36、8、9、10简单应用45、1112一、选择题1．(2013年成都模拟)下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝32.故选B.答案：B2．(2013年厦门质检)已知tanα＋π4＝17，则tanα等于()A．－65B．－1C．－34D.65解析：由题tanα＝tanα＋π4－π4＝tanα＋π4－tanπ41＋tanα＋π4tanπ4＝17－11＋17×1＝－34，故选C.答案：C3．已知sinα＋π6＋cosα＝453，则sinα＋π3的值为()A.45B.35C.32D.35-2-解析：由条件得32sinα＋32cosα＝453，即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.答案：A4．(2013年潍坊质检)已知α∈0，π2，α＋π3的终边上的一点的坐标为(－4,3)，则sinα等于()A.3＋4310B.3－4310C.3±4310D.－3＋4310解析：由α∈0，π2及三角函数的定义可知sinα＋π3＝35，cosα＋π3＝－45，所以可得sinα＝sinα＋π3－π3＝sinα＋π3cosπ3－cosα＋π3sinπ3＝3＋4310，故选A.答案：A5．(2013年驻马店模拟)函数y＝2cosx(sinx＋cosx)的最大值和最小正周期分别是()A．2，πB.2＋1，πC．2,2πD.2＋1,2π解析：y＝2cosxsinx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，所以当2x＋π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，即x＝kπ＋π8(k∈Z)时取得最大值2＋1，最小正周期T＝2π2＝π.答案：B二、填空题6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则α＝________.解析：依题意有cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵α、β均为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0.∴cosα＝sinα.∴α＝π4.答案：π47．计算－cos2155°－sin225°＝________.-3-解析：－－－cos225°－sin225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝－2cos50°＝12.答案：128．(2013年济南质检)已知sinx＝55，x∈π2，3π2，则tanx－π4＝________.解析：∵sinx＝55，x∈π2，3π2，∴cosx＝－45，∴tanx＝－12，∴tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝－3.答案：－39．(2013年温州模拟)若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，∴tanα＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝β－α－tanα1＋β－αα＝－2－21＋－＝43.答案：43三、解答题10．(2013年毫州质检)已知tanπ4＋α＝2，tanβ＝12.(1)求tan2α的值；(2)求α＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋α＋β的值．解析：(1)∵tanπ4＋α＝2，∴tanπ4＋tanα1－tanπ4tanα＝2.∴1＋tanα1－tanα＝2.-4-∴tanα＝13.∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝231－19＝34.(2)α＋β－2sinαcosβ2sinαsinβ＋α＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝cosαsinβ－sinαcosβcosαcosβ＋sinαsinβ＝β－αβ－α＝tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝12－131＋12×13＝17.11．(2013年衡阳模拟)函数f(x)＝cos－x2＋sinπ－x2，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝2105，α∈0，π2，求tanα＋π4的值．解析：(1)f(x)＝cos－x2＋sinπ－x2＝sinx2＋cosx2＝2sinx2＋π4.∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.(2)由f(α)＝2105，得sinα2＋cosα2＝2105，∴1＋sinα＝85.∴sinα＝35.又α∈0，π2.∴cosα＝1－sin2α＝1－925＝45.∴tanα＝sinαcosα＝34.∴tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝34＋11－34＝7.-5-12．(能力提升)已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈3π2，2π，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cosα2＋π3的值．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即6sin2α＋5sinαcosα－4cos2αsin2α＋cos2α＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－43或tanα＝12.∵α∈3π2，2π，∴tanα0，∴tanα＝－43.(2)∵α∈3π2，2π，∴α2∈3π4，π.由tanα＝－43，求得tanα2＝－12或tanα2＝2(舍去)．∴sinα2＝55，cosα2＝－255，∴cosα2＋π3＝cosα2cosπ3－sinα2sinπ3＝－255×12－55×32＝－25＋1510.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年宝鸡中学月考)已知α，β∈－π2，π2，且tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.解析：由根与系数的关系知tanα＋tanβ＝－60，tanα·tanβ＝70，∴tanα0，tanβ0，∴α，β∈－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，且tan(α＋β)＝-6-tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝1，故α＋β＝－3π4.答案：－3π42．已知函数f(x)＝2sin2nx＋2sinnxcosnx－1(n0)的最小正周期为π8，则n＝________.解析：因为f(x)＝2sin2nx＋2sinnxcosnx－1＝sin2nx－cos2nx＝2sin2nx－π4，所以函数f(x)的最小值2π2n＝π8，故n＝8.答案：83．(2013年玉林模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求f(x)的解析表达式；(2)若α是三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．解析：(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.∴tan(α＋β)＝2tanα.于是tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x.∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(2)∵α是三角形的最小内角，∴0α≤π3，即0x≤3.∵1fx＝1＋2x2x＝2x＋1x，设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22当且仅当x＝22)时取等号，故函数f(x)的值域为0，24.