《4.2平面向量基本定理及坐标表示》教案

1/27平面向量基本定理及坐标表示适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点基底的概念与平面向量基本定理平面向量基本定理的应用平面向量的坐标表示及运算平面向量共线的坐标表示教学目标1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.教学重点平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线教学难点向量的坐标运算及共线条件2/27教学过程课堂导入音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉．事实上，音乐有7个基本音符：DoReMiFaSolLaSi，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此．在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？3/27复习预习1．上节课已经学习过向量的数乘，所谓向量的数乘为________，记为________，它的长度与方向规定如下：(1)________＝|λ||a|；(2)当________时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向________．4/27知识讲解考点1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是π2，则a与b垂直，记作a⊥b.5/27考点2平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)6/27考点3平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.7/27例题精析【例题1】【题干】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝13BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设BA＝a，BC＝b，试用a，b为基底表示向量EF，DF，CD.8/27【解析】EF＝EA＋AB＋BF＝－16b－a＋12b＝13b－a，DF＝DE＋EF＝－16b＋13b－a＝16b－a，CD＝CF＋FD＝－12b－16b－a＝a－23b.9/27【例题2】【题干】已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝13AB，DA＝－13BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．10/27【解析】设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝13AB，DA＝－13BA，所以有x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝1，2－y2＝2.解得x1＝0，y1＝4，和x2＝－2，y2＝0.所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4).11/27【例题3】【题干】(1)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．(2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.12/27【解析】(1)由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有AB＝DC，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．(2)由题意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，即2(m－1)＝3，所以m＝52.13/27课堂运用【基础】1．(2012·广东高考)若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)14/27解析：选A由于BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，那么BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．15/272．(2013·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ为实数)，则m的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．(－∞，2)∪(2，＋∞)16/27解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m≠3m－22，解得m≠2.17/273．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．418/27解析：选C∵由题意得kOC＝1－2＝－12，kBA＝2－10－2＝－12，∴OC∥BA，①正确；∵AB＋BC＝AC，∴②错误；∵OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确；∵OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．19/27【巩固】4．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC＝________.20/27解析：AQ＝PQ－PA＝(－3,2)，∴AC＝2AQ＝(－6,4)．PC＝PA＋AC＝(－2,7)，∴BC＝3PC＝(－6,21)．答案：(－6,21)21/275．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.22/27解析：a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，又∵a－2b与c共线，∴(a－2b)∥c∴3×3－3k＝0，解得k＝1.答案：123/27【拔高】6.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.24/27解：法一：在△ADM中，AD＝AM－DM＝c－12AB①在△ABN中，AB＝AN－BN＝d－12AD②由①②得AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．法二：设AB＝a，AD＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以BN＝12b，DM＝12a，于是有：c＝b＋12a，d＝a＋12b，解得a＝23d－c，b＝23c－d即AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．25/277．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP＝OA＋tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．26/27解：(1)∵OA＝(1,2)，AB＝(3,3)，∴OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t＝－23；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－13；若点P在第三象限，则1＋3t0，2＋3t0.解得t－23.(2)不能，若四边形OABP成为平行四边形，则OP＝AB，即1＋3t＝3，2＋3t＝3.∵该方程组无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形．27/27课程小结1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．