[3-1]空间机构运动分析【重制】.

机构综合第四章空间机构的运动分析侯绪研机电学院航空宇航制造工程系科技园2F栋427室139366478012015.912§4-1概述空间机构应用的运动副种类多，其结构一般较平面机构复杂，对空间运动构件的描述，也远比平面运动的构件困难，因此，空间机构的运动分析要比平面机构复杂得多。空间机构的运动分析，主要仍是指机构的位移（包括点的轨迹）、速度和加速度分析，其中位移分析也仍然是最基本和最复杂的。对于空间机构的位移分析，常应用的数学工具，如普通矩阵、对偶螺旋矩阵、复数向量、矢量回转、张量回转等。3建立数学模型(运动变量间的关系式)的主要方法有两类：利用机构的封闭环方程；灵活运用机构的各种几何约束条件(如杆长不变等)。前者可提供较多的关系式，但有时很难由它导出需要的位移方程式。后者方法灵活，在建立关系式时可有意识地避开某些运动参数，从而使推导工作简易。4一、坐标变换矩阵与方向余弦矩阵基本原理：在每一构件上设置坐标系，该坐标系与构件相对固定，这样就可以把构件间的位移研究抽象为坐标系的变换问题。§4-2用矩阵环方程作机构的位移分析5以P点的坐标为例。ix向量带有上标“0”者为沿相应坐标轴的单位向量；代表与轴正向之间的夹角。)(jixxixjx)()()cos()()()()('00000000000jijjijjijijjijjijjijjjjjjijizxzyxyxxxxzzxyyxxxxzzyyxxxrx设坐标系为旧系,为新系。点P在旧系中的坐标与新系中的坐标间存在着简单的变换关系。设立一坐标系其原点为，而各相应的坐标轴与平行，则与间的坐标变换为共原点变换。)(iiiiizyxo)(jjjjjzyxo)(iiiiizyxojoiij6式中是新系原点在旧系轴上的分量，后面三项分别是在轴上投影。)(joixjoix是将坐标系变换到各坐标轴方位与平行时的坐标变换矩阵。][ijcji)cos()cos()cos(')()(jijjijjijOiiOiizxzyxyxxxxxxxjjjzjyjxzzcyzcxzczycyycxyczxcyxcxxciziyixiziyixjijijijijijijijijiOOOjjj)()()()()()()()()()()()(jijOiircrj][)(与间为平移变换：ii7设、、分别代表沿、、轴的单位向量，则方向余弦矩阵的每行元素，正是以上三个单位向量沿三坐标轴的分量。矩阵的每列元素则是单位向量、、沿三坐标轴的分量。0ix0iy0izixiyiz0jx0jy0jzi由于各元素是各相应坐标轴夹角的方向余弦，故此三阶矩阵称为方向余弦矩阵。][ijc8方向余弦矩阵有以下性质：1）某行（列）各元素的平方和为1（即=1，…等）2）任两行（列）各相应元素乘积之和为0（如=0等）3）每一元素等于其代数余子式00iixx00iiyx4）由上一性质可以看出1||ijc)()()()()()(000000jijijijijijijjjiiizzcyzcxzczycyycxyczyxzyx9若采用齐次坐标（x，y，z，t），并取t=1，则可用四阶矩阵来表示以上的坐标变换：1][11000)(][1)(jijjoijirMrrcj1][11000)(][1)(ijiiojiiMrcri10二、几种常用的基本变换矩阵（1）当新系为旧系绕轴旋转角得到：jiizij（2）当新系为旧系绕轴转过角得到：jiixijijijijijijcssc00001][jijjijirrcr][][10000][ijijijijijcsscjijjijirrcr][][11（3）如果新系的位置可认为是旧系先绕轴旋转角，再绕轴转角得到：jiizijkxijijijijijijijijijijijijijijcscsccssssccc0][kijirr][jijkrr][jijijjijirrcr]][[][因此12（4）在空间机构分析中常用到如图所示的坐标变换关系1221212212121212212)(110][][]][[0][][2sarrsarcrO110000][]][[1][12121212122121rsarM若将构件1、2用、代替，则得到i1i著名的Denavit-Hartenberg变换矩阵，简称D-H阵；矩阵中参量也称为Denavit-Harteaberg参量。10000][]][[][11,1,1,1,iiiiiiiiiisaM10000][1,1,1,11,1,1,1,1,1,11,1,1,1,1,1,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiscssascccscasscscMiiiiiisa,,,11,1,14三、矩阵形式的环方程机构是一有固定件的闭式运动链。如在每一构件上设置坐标系，则两坐标系之间的坐标变换可用四阶变换矩阵表示。当坐标变换连续进行，则可用变换矩阵的乘积表示。如一闭式链由n个构件组成，由构件1上的坐标系起依构件顺序相继进行坐标变换到系，上述矩阵乘积应等于单位矩阵[I]，即1以上为用四阶矩阵表示的环方程。][...1)1(2312IMMMMnnn][...2132)1(1IMMMMnnn1用三阶矩阵表示的环方程，令则得到的环方程为（1）（2）其中式（1）只包含与转动有关的结构参数和变量，因而是只体现各构件转角间约束关系的环方程式，简称为转动环方程。0]]}[][]...[][][][{[......]]}[][][][{[]]}[][{[][1,1,123231212334232312122231212112nnnnnnRRRR][]][[]][][][[1123231212InniiisaR0116坐标系的选取和符号规定：如果所研究的机构是由轴线的运动副（C、E、H、P等）组成，坐标系可根据以下原则选取：z轴应与运动副的轴线重合；x轴应沿构件方向；x轴与z轴选定后，y轴可按右手坐标系的关系定出。a：构件结构参数：x轴之间的距离：x轴之间的夹角：z轴之间的夹角s17（1）4C机构的位移分析在不含球面副的空间四杆机构中，4C机构具有典型性。由它可以导出球面四杆机构、RCCC机构、平面四杆机构，以及多种有过约束的空间四杆机构。0]][][][][][][[]]}[][][][{[]]}[][{[][441343423231212334232312122231212112RRRR][]][][][][][][][[4141343423231212I18由上式左右两侧的对应元素相等可以得到以下九个转动方程式：343441344123121223122312232312344134412312122312ccsscssscccscsccsscscscc344123121223122312232312sscsssccsssc413441344123121223122312232312sccsccscscccsss344134344141344141341223scscscssscss0]][][[][][][][][44134343342231122323RRRRTTTTTTTT][][][][]][][][[3434414123231212411343441344134414134231212231223122323124134413441344141341223122312ssccccccssssccccccsssscccscsccsccs为了便于推导，再改写为190)(1223123233443434423413441341sssccssscsscc0)()(23122312231232322323443434434413441341sccscscssssscscsccs41344134412312231223413431413441344141342312231223ccsscsccsccscssccssssccsc这九个方程与、等结构参数变量无关，即机构各构件的相对转动只与转角结构参数有关。由这些方程可以推导出各角变量之间的角位移关系式。is0)(2312232312123232232334434411sscccssscsscsssia20对角之间：231223124134413441231ttssccsscc411212413423342334121ttssccsscc2003434CBcAs41sA41344134tsccB23411241344134231ssccstctCCBCBAA22234arctan2邻角与之间：34410123411241344134233434414134343441ssccstctccctcsssCBCBAA22234arctan2解得2101411411CcBsA121sA124112411tsccB341223124112413411ssccstctC0134122312411241344112414112414112ssccstctctscccss邻角与之间的关系式：411211212121141arctan2CBCBAA其中解得22（2）球面4R机构和空间机构的球面指示机构球面指示机构为与原机构有相同角结构参数的球面机构。球面指示机构与原机构有相同的转动方程式，即有相同的转动特性。0ia0is结构参数移动变量转动副轴线汇交于一点的四个转动副组成的球面4R机构23（3）Bennett机构Bennett机构应满足的几何条件：封闭形对边的长度（）相等、扭角（）相等，且边长与扭角的正弦成正比例。jij位移变量间应有下列三个关系式：41342