《原子物理学》杨福家部分课后答案

1`第三章题解3-1电子的能量分别为10eV，100eV，1000eV时，试计算相应的德布罗意波长。解：依计算电子能量和电子波长对应的公式电子的能量:keekEmpmpE222由德布罗意波长公式:KeEmhph2nmE2261.nmnm388010.1.226nmnm0.12261001.2262nmnm0.038810001.22633-2设光子和电子的波长均为0.4nm，试问：（1）光子的动量与电子的动量之比是多少？（2）光子的动能与电子的动能之比是多少？解：（1）由ph可知光子的动量等于电子的动量，即p光子:p电子=1:1（2）由光子动能与波长的对应的关系nmKeVE)(光子光子1.24电子动能与波长的关系nmE电子电子1.226nmE)(电子电子1.226则知962940..31.226101.2423电子光子EE3-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：(1)该电子的速度2为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少?解：（1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是：2mcE20cmEEk2022cmmc02mm022021mcvmm41122cv22141cv2243cv所以0.866cc43v（2）根据电子波长的计算公式：0.001715nmeV105111.226nm)(1.226nm3eVEk3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中子的能量．若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18nm，一级布喇格掠射角(入射束与布喇格面之间的夹角)为30°,试求这些热中子的能量．解：根据布喇格衍射公式nλ=dsinθλ=dsinθ=0.18×sin30°nm=0.09nm1.226nm()kEeV221.226nm()13.622eV185.56eVkE3-5电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度3很大，因而必须考虑相对论修正．试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：1.226nmrV式中Vr=V(1+0.978×10-6V)，称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特．分析:考虑德布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式021()mmvc将其平方整理乘c2,得其能量动量关系式222220[1()]vmcmcc2222220mcpcmc222240Epcmc20kEEmc0kEEE224222420000111()(2)kkkpEmcEmcmcEEmcccc2222226221.226(2)2(2)(2)21.2261.2261.226(10.978510)(1)2ekkeekkekkeeremchhchcpEEmcmcEEmcEEmcmcVVVVVmc题意得证.3-6(1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于41EE式中Eo和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量．(康普顿波长λc=h/m0c,m0为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论)(2)当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?证明：根据相对论能量公式021()mmvc将其平方整理乘c2222220[1()]vmcmcc2222220mcpcmc222240Epcmc20kEEmc0kEEE224222420000111()(2)kkkpEmcEmcmcEEmcccc224222420000001111()(2)()()kkkpEmcEmcmcEEmcEEEEcccc（1）相对论下粒子的德布罗意波长为：22000()()hhchcpEEEEEE粒子的康普顿波长为2000chhchcmcmcE2202000220()()1()chcEEEEhcEEEE（2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长20()11EE5200()2,2EEEE022511722.55KeVEE0722.55511211.55(KeV)kEEE则电子的动能为211.55KeV.则电子的动能为211.55KeV注意变换：1.ΔP转化为Δλ表示;2.ΔE转化为Δν表示;3-7一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为10，试问该原子态的寿命为多长?解：依htE求ΔtchhEhcE2EtschcEt106110314341010600422..3-8一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能．解：2xpx粒子被束缚在线度为r的范围内，即Δx=r那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：x2xp∵])[(xxxppp0xp∴平均平均)()(31ppx6∴电子的最小平均动能为eVmrEk10848283.3-9已知粒子波函数czbyaxN2||2||2||exp，试求：(1)归一化常数N；(2)粒子的x坐标在0到a之间的几率；(3)粒子的y坐标和z坐标分别在-b→+b和-c→+c.之间的几率．解:(1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是:dv=1即:dzedyedxeNdvczbyax222222221822220002abcNdecdebdeaNczczbybyaxax所以Nabc81(2)粒子的x坐标在a0区域内几率为:dzedyedxeNczbyaax22220222)11(211412eeabcN(3)粒子的),(),,(cczbby区域内的几率为:dzedyedxeNccczbbbyax222222222)11(8eabcN2)11(e3-10若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出：(1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度；(3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小73-11对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态ψn中的平均值x及)(xx，并证明：当n→∞时，上述结果与经典结果相一致．3-12求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置．第三章习题13,143-13设氢原子处在波函数为1),,(arear的基态，a1为第一玻尔半径，试求势能rerU41)(的平均值．3-14证明下列对易关系：ipy],[0],[ypx0],[xLxzLxi],[y0],[xxLpzPLpi],[yx第三章习题15解3-15设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为:V(x)=axax000x0V试求:(1)粒子能级表达式;(2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深0V和阱宽a之间满足关系式:maV32220解:(1)在x0时,由薛定谔方程可得:EVmr)(222因为)(xV所以0)(1x(1)8ax0,V(x)=0,体系满足的薛定谔方程为:222222Edxdm(2)整理后得:0222222mEdxd令/2mEk则:022222kdxd因为0)0(2所以波函数的正弦函数:)sin(2kxA(3)xa,0)(VxV薛定谔方程为:33023222EVdxdm(4)整理后得:0)(2320232EVmdxd令/)(20EVmk则:0'32232kdxd方程的解为:xkBe'3(5)式中A,B为待定系数,根据标准化条件'的连续性,有)()(')()('3322aaaa将(3),(5)式代人得:'kkkctg(6)(2):证明:令kauakv'则(6)式可改为:vuctgu(7)同时,u和v还必须满足下列关系式:22022222/2)'(hamvakkvu(8)联立(7)(8)可得粒子的能级的值..用图解法求解:在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7)(8)两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.因kk’都不是负数,故u和v不能取负值,因此只能取第一象限.由图可知(7)(8)两式至少有一解得条件为:2202amv2即maV32220