§102第二型曲线积分

§10.1向量场10.1.1向量场的概念一、场的概念某种物理量在空间（平面）区域内分布称为“场”。例如，温度在空间区域内的分布就是温度场。电场强度在空间区域内的分布就是电场。二、场的分类1．数量场和向量场按照某种物理量是数量或是向量，将其场称为数量场或向量场。例如:：温度场、气压场都是数量场；速度场、引力场都是向量场。2．稳定场和非稳定场如果场中的物理量仅随位置变化，而不随时间变化，这种场称为稳定场（或定常场），如果是随时间变化的，则称为非稳定场（或非定常场）。数量场：向量场：),,(),,,()(zyxMzyxuMu.),,(,),,(),,,(),,,(),,()(zyxMzyxRzyxQzyxPzyxAMA三、场的表示场量在区域（场域）内的分布可以用定义在该区域内的一个函数来描述，给定了一个函数（场函数），就相当于给定了一个场。).{)(44),,(23222030kzjyixzyxqrrqzyxEq为的点电荷产生的静电场为例如，位于原点且电量（其中0是真空中的介电常数.）若在域中，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP连续，则称向量场A或向量值函数),,(),,,(),,,(),,(zyxRzyxQzyxPzyxA是连续的。10.1.2向量线数量场的常用直观表示法是等值面（或等值线）。例如在地形图上常用等高线表示地形高度。又如在气象中常用等温线表示温度场。等高线50607080等温线12840481．数量场的等值面（或等值线）若平面数量场为),(yxvv，则Cyxv),(称为等值线。例如:平面数量场22yxv的等值线为Cyx22，这是一组同心圆。若空间数量场为),,(zyxuu，则Czyxu),,(称为等值面。例如:空间数量场zyxu的等值面为Czyx，这是一组平行平面。2．向量场的向量线通常用向量线直观地表示向量场。定义若曲线上C每一点处，向量场的向量都位于在C该点的切线上，则曲线称C为这个向量场的向量线。比如静电场中的电力线，磁场中的磁力线，流速场中的流线都是向量线。下面来导出向量线的方程。设向量场为),,(),,,(),,,(),,()(zyxRzyxQzyxPzyxAMA),,(zyxM为向量线上C的任一点，则向量线在C点M的切线向量为},,{dzdydx，它必与在点M的场向量),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxPA共线，故有),,(),,(),,(zyxRdzzyxQdyzyxPdx，解此微分方程组可得向量线的方程。向量场的向量线C例．求静力场rrqE34的向量线。解：232220)(4),,(zyxxqzyxP，232220)(4),,(zyxyqzyxQ，232220)(4),,(zyxzqzyxR由),,(),,(),,(zyxRdzzyxQdyzyxPdx得zdzydyxdx，解此方程组得xCzxCy21，它表示过原点)0,0,0(，方向向量},,1{21CC是任意的直线族。这些线称为电力线。点电荷所产生的静电场的向量线xyzo10.2.1第二型曲线积分的概念§10.2第二型曲线积分一、引例：变力沿曲线所作的功设有一空间力场),,(zyxFF，连续F。一质点在力场F的作用下，沿空间光滑曲线点点移到从BAC，求力场WF所作的功。xo2AiA1iA1AAAnABiMZy其中),,(iiiiTT是质点在点iM处沿C曲线的单位切线向量。近似：iiiiiiAAM1),,(，则质点沿C曲线从点1iA移动到iA时，力场所作F的功)],,([),,(][iiiiiiiiiiiiTsFTsFW⌒分割：任取点列nnAAAAA,,,,121，把曲线段C任意分成个n有向小弧段),,2,1(1niAAii，第段i弧iiAA1的长度记为is。⌒⌒求和：力场F所作的功的近似值为niiiiiiiiiniiTsFWW11)],,([),,(，取极限：令}{max1inisd，则力场F所作的功为niiiiiiiiidTsFW10)],,([),,(lim。二、第二型曲线积分的定义设是C向量场),,(zyxA所在空间中一条以为起点A，为B终点的有向光滑曲线弧。用分点BAAAAAAnn,,,,121，把C任意分成个n有向小弧段),,2,1(1niAAii，iiAA1的长度记为is，令}{max1inisd，iiiiiiAAM1),,(，作和式niiiiiiiiisTA1),,(),,(，其中),,(iiiiTT是C上点iM处相应于所给方向的单位切线向量。⌒⌒⌒如果当0d时，和式的极限存在，且极限值与的分法C及点的选法iM无关，则称此极限为向量值函数（或向量场）),,(zyxA沿有向曲线的C第二型曲线积分，记作dszyxTzyxAC),,(),,(，即niiiiiiiiidCsTAdszyxTzyxA10),,(),,(lim),,(),,(引例中力场所作F的功可以表示为dszyxTzyxFWC),,(),,(。设向量值函数kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(，∵},,{1},,{)()()(1222dzdydxdsdzdydxdzdydxT，∴RdzQdyPdxdzdydxAdsTA},,{。∴第二型曲线积分也可记作CdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(，上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。通常将dsT记为ds，即},,{dzdydxds，则第二型曲线积分的向量形式为CdsA。若C为平面有向光滑曲线弧，向量值函数jyxQiyxPyxA),(),(),(，则有CCdyyxQdxyxPdsA),(),(。ds称为弧长向量微元。三、第二型曲线积分的性质（1）CCCdsBdsAdsBA)(；（,为常数）首尾相接与其中2121,CCCCC（2）21CCCdsAdsAdsA；（3）CCdsAdsA。反方向的有向曲线弧。是与其中CC设),,(zyxAA，),,(zyxBB，则（线性性质）（方向性）（对积分弧段的可加性）10．2．2第二型曲线积分的计算定理设有向光滑曲线弧C的参数方程为)(txx，)(tyy，)(tzz，曲线C的起点A对应t，终点B对应t，当t单调地由变到时，动点),,(zyxM描出由点A到点B的曲线弧C。又设向量值函数)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxA在C上连续，则RdzQdyPdxdszyxACC),,(dttztztytxRtytztytxQtxtztytxP)]}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{①注（1）当C是平面曲线，其参数方程为)(txx，)(tyy时，则有CCQdyPdxdsyxA),(dttytytxQtxtytxP)}()](),([)()](),([{。②（2）当平面曲线C为)(xyy，bxa，ax起点，bx终点，则有CCQdyPdxdsyxA),(dxxyxyxQxyxPba)}()](,[)](,[{。③公式①②③中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线弧C的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。∴要把C分成AO和OB两部分。解：方法1将所给积分化为对的x定积分来计算。例1．计算dxxyC，其中C为抛物线xy2上从点)1,1(A到点)1,1(B的一段弧。∵xy不是单值函数，在AO上，xy，从x1变到0；在OB上，xy，从x0变到-1，∴dxxydxxydxxyOBAOC.54d2d)d(101001xxxxxxxxxx2xyyo)1,1(A)1,1(B方法2将所给积分化为对的定积分y来计算。2yx，y从-1变到1，∴dxxyC542)(1142112dyydyyyy。x2xyyo)1,1(A)1,1(B例2．计算曲线积分dyyxdxyxC)()(，路径C是（1）圆弧AB；（2）折线AOB。xyo)0,1(A)1,0(B解：（1）圆弧AB的参数方程为txcos，tysin，20变到从t，dyyxdxAByx)()(ttttttt]d)cossin(cos)sin)(sin[(cos20.1]sin2[cos220dttt（2）AO的方程为0y，从x1变到0，0dy；OB的方程为0x，从y0变到1，0dx；dyyxdxyxAOB)()(dyyxdxyxdyyxdxyxOBAO)()()()(.12121)(1001dyyxdx从例2看出，虽然沿不同路径，但曲线积分值可以相等。xyo)0,1(A)1,0(B解：（1）椭圆12222byax的参数方程为tbytaxsincos，且起点A对应的参数0t，终点B对应的参数23t，例3．计算曲线积分ydxdyxC，其中积分路径为（1）在椭圆12222byax上，从)0,(aA经第一、二、三象限到点),0(bB；（2）在直线bxaby上，从点)0,(aA到点),0(bB。xyo)0,(aA),0(bB∴dttatbtbtaydxdyABx)]sin(sincoscos[230abdtab23230（2）AB的方程为：bxaby，dxabdy，起点A对应于ax，终点B对应于0x，abdxbdxbxababxydxdyxAB0a0a)(从例3看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径所得的值不相等。xyo)0,(aA),0(bB例4．计算曲线积分)dzyzdyyxdx13(2，是从点)4,3,2(A到)1,1,1(B的直线段。解：∵直线AB的点向式方程为312111zyx，∴参数式方程为tztytx31211，起点A对应参数1t、终点B对应参数0t。∴zyzyyxd)13(ddx2dttttt}3]1)2(1)3[3(12)2(1){(10123223)8306(201dttt例4．一力场的力的大小与作用点到轴z的距离成反比，方向是垂直地指向轴z，试求当质点沿着1y平面内的一个单位圆周（圆心为)0,1,0(）上从点)0,1,1(M经第一卦限移动到点)1,1,0(N时，场力所作的功。解：设力场中任一点),,(zyxP处的力为),,(zyxF，则22yxkF，设点P在xy平面上的投影为P，则OP与力),,(zyxF的方向相同。)1,1,0(Nxyo)0,1,1(MzPP∵jyixOP，∴22yxjyixOPF，∴22yxjyixkFFF，22)(yxydyxdxkdsFdW，CCyxydyxdxkdsFW22)(，有向曲线的参数方程为tzytxsin1cos，起点)0,1,1(M对应参数0