§11方程的导出定解条件

1第一章波动方程WaveEquations弦的振动某一点出发的特殊波2最典型的双曲型方程描述波在同性均质弹性介质内传播的微分方程。例如声波，光波和水波。出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。3§1方程的导出、定解条件弦的横振动方程的建立定解条件的提出定解问题适定性概念§1方程的导出、定解条件1.弦的横振动方程的建立2.定解条件的提出3.膜振动方程的导出4.定解条件的提法5.真空中电磁波的传播上页下页返回5设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面内作微小横振动。求弦上各点的运动规律。1.弦的横振动方程的建立一、基本假设：1、细弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，因此可视为一根曲线；2、均匀线密度r是常数；3、柔软变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致（没有法向分量）；4、有弹性弦的伸长形变与张力服从胡克定律。上页下页返回6牛顿第二定律：作用在物体上的力＝该物体的质量×该物体的加速度1Tu1x21O2T2xx图1dtdvmamtF)()()()(1221tmvtmvdttFtt二、基本定律：在任一时段内：作用在物体上的冲量＝该物体的动量的增量上页下页返回7x轴——弦的平衡位置；u轴——弦的振动位移。三、数学推导),(txu——位于x处的弦在t时刻离开平衡位置的位移；微小横振动：1xu，因此xu的高阶项可忽略不计。xdxdxsxxxxxxxu2)(1),(txT——位于x处的弦在t时刻的张力大小；由Hooke定律)(),(xTtxT任取一弦段),(xxx，它的弧长为：上页下页返回8sintanxu2tan11cos),(txTuxMxO图21112xu由基本假设3，张力的方向总是在点的切线方向x上页下页返回9下面推导不受外力作用时，弦的位移),(txu所满足的微分方程。为此，任意截取一段弦],[xxx，并考察受力情况。（见图3）在x处的左张力的水平分力为：-T(x)cosq1»-T(x)在xx处的右张力的水平分力为：T(x+Dx)cosq2»T(x+Dx)水平方向受力分析由于各点没有左右偏移，故水平方向合力0)()(xTxxT即.)(TxT1Tux21O2Txxx图3上页下页返回10垂直方向受力分析在x处的左张力在u方向的分力为：-T(x)sinq1xtxuT),(在xx处的右张力在u方向的分力为：xtxxuT),(T(x+Dx)sinq2则张力在u方向的合力为:T(x+Dx)sinq2-T(x)sinq1=xtxxuT),(xtxuT),(在时间段),(ttt中该合力产生的冲量为：tttdtxtxuxtxxuT1]),(),([上页下页返回11在时刻t弦段),(xxx的动量为：xxxdxttxu),(r动量分析从时刻t到时刻tt，弦段),(xxx的动量增加量为:xxxdxttxutttxu),(),(r(1.9)在时刻tt该弦段的动量为:xxxdxtttxu),(r上页下页返回12动量分析由xt,的任意性知:由动量定理，在),(ttt时间段内的冲量应等于动量的增加xxxdxttxutttxu),(),(rtttdtxtxuxtxxuT1]),(),([从而.0]),(),([12222tttxxxdxdtttxuxtxuTr(1.10).0),(),(2222ttxuxtxuTr上页下页返回13无外力弦振动方程记2aTr，就得到不受外力作用时弦振动方程(1.11).0),(),(22222xtxuattxu方程(1.11)是弦的自由振动方程,通称为弦振动方程或一维波动方程。上页下页返回14当存在外力时，设在x处外力线密度为),(txF，其方向垂直于x轴，则弦),(xxx上所受外力为：,),(xxxdxtxF外力分析它在时间段),(ttt中所产生的冲量为:tttxxxdtdxtxF),(于是在方程（1.10）的左侧应添加这一项，得到:（1.12）.0)],(),(),([12222tttxxxdxdttxFttxuxtxuTr上页下页返回15外力分析（1.14）由xt,的任意性知:).,(),(),(2222txFttxuxtxuTr记),(),(,2txftxFaTrr，就得到外力作用下弦振动方程),,(),(),(22222txfxtxuattxu（1.13）f(x,t)表示时刻t在点x处,单位质量的弦所受外力。方程(1.14)是弦的强迫振动方程,通称为非齐次振动方程或非齐次一维波动方程。上页下页返回16类似地，可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）。)16.1().,,,()()15.1(),,,()(2222222222222222tzyxfzuyuxuatutyxfyuxuatu上页下页返回172.定解条件的提出1)初始条件:已知弦在初始时刻t=0时的位置和速度)3()0()()0,(),()0,(lxxtxuxxu2)边界条件:已知弦在两个端点的性态边界条件可有几种不同的形式:①弦的两端固定：（见图1))4(0),(,0),0(tlutu式(4)称为第一类边界条件，或Dirichlet边界条件。上页下页返回18②弦的端点是自由的，可在垂直于x轴的直线上自由滑动，此时合力在u方向的分量为0，即0),(,0),0(xtluxtu更一般的第二类边界条件:称为第二类边界条件或Neumann边界条件。（Tsinθ≈Tux）)5()(),(),(),0(21txtlutxtu1和2是已知函数上页下页返回19③弦的端点固定在弹性支承上。此时，弹性力与弦对支承的拉力(弦在端点的张力在垂直方向的分量)相平衡(见图4）,描述为弹性支承的弹性系数处分别为lxxkkukxuTlxukxuTx,0,::02121更一般的描述:)()(:)()(:022221111TktvuxulxTktvuxux第三类边界条件xulO图4上页下页返回20求方程(1)或(2)满足初始条件(3)以及某类边界条件的解，这种定解问题称为混合问题或第一(二、三)类混合初边值问题。另一种极端情形：设弦很长，而所要考察的一部分弦离边界又很远。此时可在无界区域上考察方程(1)或(2)满足初始条件(3)的解。称为初值问题或柯西(Cauchy)问题.上页下页返回213.膜振动方程的导出以膜振动方程为例，导出二维波动方程。其中r为膜的面密度，T是膜上任一点的张力。),,(tyxF是点),(yx处所受外力面密度。),,(tyxFyuxuTtu222222r设膜的平衡位置为xoy平面，),,(tyxu为t时刻膜上),(yx处的位移（垂直于xoy平面）。则膜振动方程为上页下页返回22式：得膜振动方程的标准形记,,rrFfaT22222222yuxuatu),,(tyxfyuxuatu2222222膜的自由振动方程自由项膜的强迫振动方程二维波动方程上页下页返回234.定解条件的提法),(),,(),(),,(yx0yxtuyx0yxu),,(),,(),,(tyxtyxu0tyxu或①初始条件：②边界条件：第一类边界条件：其中Γ为薄膜的边界在xoy平面上的投影。上页下页返回24第二类边界条件：),,(),,(),,(tyxtyxnu0tyxnu或其中n为Γ的外法线方向。第三类边界条件：),,(tyxunu0unu或其中σ为已知正数。nn上页下页返回25.,),,(),,(),,(),,(),,,(yxyx0yxtuyx0yxutyxfyuxuatu2222222Cauchy问题混合初边值问题上页下页返回265.真空中电磁波的传播Maxwell方程组Ñ×D=rÑ´E=-¶B¶tÑ×B=0Ñ´H=j+¶D¶tìíïïïîïïïD：电位移矢量E：电场强度B：磁感应强度H：磁场强度r：电荷密度j：电流密度真空中，ED0，HB0，其中0是真空电容率，0是真空导磁系数。当0j，0r时，得真空无源区域中的Maxwell方程组：全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理静电场高斯定律上页下页返回27tEHHtHEE0000HtHEtE200222002211zyx,,2222222zyxE和H的三个分量均满足三维波动方程：uatu2220021a其中，上页下页返回28定解问题适定性存在性,唯一性,稳定性统称适定性.稳定性指解对定解条件或自由项的连续依赖性问题。即：当定解条件或f(指f(x,t),f(x,y,t),f(x,y,z,t))有微小变化时，解是否也只有微小变化。上页下页返回29作业P6－P7：1,3,4,6