§13初边值问题的分离变量法

2020/1/9§3初边值问题的分离变量法分离变量法解的物理意义非齐次方程的情形非齐次边界条件的情形上页下页返回22(,)(0,0),(3.1)(,0)(),(,0)()(0),(3.2)(0,)0,(,)0(0).(3.3)ttxxtuaufxttxluxxuxxxlutultt利用叠加原理，(A)的解可看作下列两问题解的叠加：.0),(),0(),()0,(),()0,(,0)(2tlutuxxuxxuuautxxttⅠ.0),(),0(,0)0,(,0)0,(),,()(2tlutuxuxutxfuautxxttⅡ(A)上页下页返回31.问题(I)的求解——分离变量法★20(0,0),(3.4)()(,0)(),(,0)()(0),(3.5)(0,)0,(,)0(0).(3.6)ttxxtuautxluxxuxxxlutulttⅠ首先求满足齐次方程(3.4)和齐次边界条件的分离变量形式的非平凡特解,即设(,)()()uxtXxTt(3.7)将(3.7)代入方程(3.4)得0)()()()(2tTxXatTxX分离变量,得2()()()()()TtXxXxaTt待定常数(3.8)上页下页返回42()()0TtaTt(3.9)()()0XxXx(3.10)故X,T应分别满足常微分方程：)()()()(2xXxXtTatT(3.8)将(,)()()uxtXxTt代入条件(3.6)得,(0)()0,()()0()XTtXlTttR由于0)(tT，故)(xX必须满足(0)0,()0XXl上页下页返回5注：其中是参数，不能任意取值，否则问题(3.10)、(3.11)只有零解。使问题(3.10)、(3.11)有非零解的的值称为问题的固有值（或特征值），相应的非零解称为固有函数（特征函数）。求固有值和相应的固有函数的问题称为固有值问题（特征值问题）。从而X(x)应是下列常微分方程边值问题的非平凡解：()()0(3.10)(0)()0(3.11)XxXxXXl为求解固有值问题(3.10)、(3.11)，下面分0，0和0三种情形来讨论。上页下页返回6xxDeCexX)(情形B：=0方程(3.10)的通解为：情形A：0方程(3.10)的通解为：DxCxX)(0()0,0Xx于是时只有平凡解故不是固有值。代入边界条件(3.11)得:0CD00llCDCeDe00CD代入(3.11)得()0,0Xx于是故也不是固有值。()()0(3.10)(0)()0(3.11)XxXxXXl上页下页返回7xDxCxXsincos)(0(()0),sin0lDXx为使否则就必须(1,2,)lkk(0)0,()sin0XCXlDl由边界条件(3.11)，即为固有值，记为满足此等式的k情形C：0方程(3.10)的通解为：),2,1(222klkk(3.12)),2,1(sin)()(kxlkDxXxXkk(3.13)相应于k的固有函数为：其中Dk为任意常数。上页下页返回8:)(222所满足的方程为时，当tTlkk2222()()0kTtaTtl通解为其中A'k，B'k为任意常数。因此是满足方程(3.4)和边界条件(3.6)的解。,kkkkkkAADBBD这里，()()(cossin)sinkkkkkkkkUXxTtAatBatxlll()cossin(1,)2,()kkkkkTtAatBatkllTt(3.14)上页下页返回9为寻求满足初始条件(3.5)的解，叠加所有的Uk，即01sin()(b)ttkkkakuBxxll由叠加原理，(3.15)也满足方程(3.4)和边界条件(3.6)，称为半通解。将(3.15)代入初始条件(3.5)，得：11(cossin)sinkkkkkkakakuUAtBtxlll(3.15)01sin()(a)ktkkuAxxl000,()()sinsin2llmnmnmnXXddlllmn当，当上页下页返回10函数级数逐项求导定理：若函数级数un(x)n=1¥å满足：（1）un(x)在[]ba,上有连续的导数（2）un(x)n=1¥å在[]ba,上逐点收敛于S(x)，(3)(un(x))'n=1¥å在[]ba,上一致收敛于T(x)，则un(x)n=1¥å在[]ba,上可导，并且可以逐项求导。陈纪修等《数学分析.下》，高教出版社，P。77,定理10.2.6’.上页下页返回11lklkdlkakBdlklA00sin)(2sin)(2(3.16)将(3.16)代入(3.15)中得定解问题(Ⅰ)的形式解:0102()sincos2()sinsinsinlklkkaudtlllkkakdtxkalll(*)(a)(b)sin0kxll在式、两端同乘以，并从到积分，得上页下页返回12证明：当32,CC,且满足相容性条件时，公式(*)右端的级数一致收敛，且222211,kkkkUUtx也都一致收敛，从而(*)是问题的古典解。定理3.1当23CC,,且满足相容性条件(0)()(0)()(0)()0lll(3.17)时，定解问题(Ⅰ)的古典解存在，由公式(*)给出。□利用具有分离变量形式的特解来构造原问题的解，这种方法称为分离变量法。上页下页返回13注：当)(x和)(x不满足定理3.1中的条件，但都是],0[l上的平方可积函数时，由傅里叶级数理论知，函数列nkknxlkA1sin和nkknxlkBlak1sin作为)(x和)(x的傅氏级数的部分和序列，分别平方平均收敛于)(x和)(x，即0)()(lim02lnndxxx0)()(lim02lnndxxx上页下页返回14当n时，),(txun平方平均收敛于由(*)式给出的形式解，即0)()(lim02lnndxxuxu对应于初始条件为)(xn和)(xn的初边值问题(Ⅰ)的解是：nkkknxlktlakBtlakAtxu1sin)sincos(),((3.18)当n充分大时，),(txun可视为初边值问题(Ⅰ)的近似解。故形式解可视为原问题的广义解。上页下页返回1511sin)sincos(kkkkkxlktlakBtlakAUu(3.15)1)(sin)(sin2kkatxlkatxlkA1)(cos)(cos2kkatxlkatxlkB1)(sin)(sin21kkatxlkatxlkAatxatxdaatxatx)(21))()((211sin21katxatxkdlklkB注：式中的，应理解为相应初值经过延拓后定义在),(上的以2l为周期的奇函数。□问题（Ⅰ）——左右行波的叠加上页下页返回162.解的物理意义令22kkkNAB，kkkABarctan，lakk，则(,)cos()sinkkkkkUxtNtxl振幅k=1：基波、基音k≠1：谐波、泛音固有频率初相位3kl1k2kl0l03l03l22l驻点分离变量法又称驻波法上页下页返回17例设弦的两端固定在x轴的0x及xl上，在点xc(0)cl处向上拉起h，而后放开作自由运动，求其运动规律。解：以u(x,t)表示弦上各点的位移，则u(x,t)满足：2(0,0)(,0)(),(,0)0(0)(0,)(,)0(0)ttxxtuautxluxxuxxlutultt(00)()()()hxccxhlxcxllc其中xOculh上页下页返回18利用(3.15)，(3.16)0kB02()sinlkkAdll022sin()sinclchkhkdldlclllcl222121(,)sinsincos()khlkckkauxtxtlllclck2222sin()hlkclclck从而上页下页返回193.非齐次方程的情形2(,),()(,0)0,(,0)0,(0,)(,)0.ttxxtuaufxtuxuxutultⅡ（齐次化原理）若);,(txW是初边值问题20(),(II):0,(,)0:0ttxxtWaWttWWfxxxlW和的解（其中0为参数），则0(,)(,;)tuxtWxtd(3.27)就是初边值问题（Ⅱ）的解。上页下页返回20令tt，问题(II)就化为：1(,;)()sinsinkkkakWxtBtxll02()(,)sinlkkBfdkal其中解法同问题(I)，故1()sin()sinkkkakBtxll(3.29)20(0),(II)0:0,(,)0:0ttxxtWaWttWWfxxxlW和上页下页返回21把(3.29)代入(3.27)，得混合问题(Ⅱ)的形式解：类似于定理3.1，可以证明，当2),(Ctxf且在端点满足0),(),0(tlftf时，级数(3.31)就是问题(Ⅱ)的古典解。001(,)(,,)()sin()sinttkkuxtWxtdkakBtdxll(3.31)可用付氏变换法求非齐次方程上页下页返回22非齐次方程的付氏解1(,)()sin(c)nnnxuxtTtl显然0),0(tu，0),(tlu，即),(txu满足(3.3)。设问题(A)的解可展开成付氏级数2(,)(0,0),(3.1)(,0)(),(,0)()(0),(3.2)(0,)0,(,)0(0).(3.3)ttxxtuaufxttxluxxuxxxlutultt(A)将级数(c)代入方程(3.1)，得22221()()sin(,)(3.1)nnnnanxTtTtfxtll上页下页返回23将),(txf看作x的函数，并展开为付氏级数lxntftxfnnsin)(),(102()(,)sin,1,2,3,lnnftftdnll其中222211()()sin(,)sinnnnnnnanxnxTtTtfxtlll则(3.1’)化为22221()()sin(,)(3.1)nnnnanxTtTtfxtll2222,1,2()(,,,)()3nnnnaTtTtfxtnl故上页下页返回24lxnxlxnTxunnnnsin)(sin)0()0,(1102()sin,1,2,3,lnndnll其中lxnxlxnTxunnnntsin)(sin)0()0,(1102()sin,1,2,3,lnndnll