§14阶跃函数和冲激函数

第1页■阶跃函数冲激函数是两个典型的奇异函数。阶跃序列和单位样值序列§1.4阶跃函数和冲激函数函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。补充冲激函数练习题第2页■▲一、单位阶跃函数ton1n11γn210,10,210,0)(lim)(deftttttnn下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。t)(tO11.定义信号的物理意义：第3页■▲2.延迟单位阶跃信号t)(0ttO10tt)(0ttO10t0,10)(0000ttttttt0,10)(0000tttttttt)(tO1第4页■▲3.阶跃函数的性质f(t)o2t12-1（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间(a)(b)f(t)f(t)ε(t)oottot(c)f(t)[ε(t-t1)-ε(t-t2)]t1t2（3）积分)(d)(ttt返回第5页■▲二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。狄拉克(Dirac)定义函数序列定义δ(t)冲激函数与阶跃函数关系冲激函数的性质第6页■▲1.狄拉克(Dirac)定义1d)(00)(tttt00d)(d)(tttt函数值只在t=0时不为零；积分面积为1；t=0时，，为无界函数。tto(1)δ(t)返回推导第7页■▲2.函数序列定义δ(t)ton1n11γn21topn(t)n1n12n对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。)(lim)(deftptnn求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。返回物理意义第8页■▲3.δ(t)与ε(t)的关系ton1n11γn21topn(t)n1n12ntttpnnd)(d)(求导tttd)(d)(n→∞to1ε(t)to(1)δ(t)ttd)()(求导第9页■▲引入冲激函数之后，间断点的导数也存在tof(t)21-1f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导1-1otf'(t)(2)(-2)返回冲激函数的物理解释第10页■▲三．冲激函数的性质取样性冲激偶尺度变换复合函数形式的冲激函数冲击函数的性质总结下一部分内容第11页■▲1.取样性(筛选性))()0()()(tftft对于平移情况：)(d)()(00tfttftt如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有)0(d)()(fttftot)(tf)()0(tf)()()()(000tttftttf证明举例返回第12页■▲ot)(tst)(tsO212112.冲激偶Ot)(t)1(0Ot)(tτ↓第13页■▲冲激偶的性质)0('d)()('fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft)(d)()(00tfttftt①f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明②证明δ(n)(t)的定义：δ’(t)的平移：③ttttd)(4)2(2])2[(ddd)(')2(0022tttttttt例返回第14页■▲3.对(t)的尺度变换)(1||1)()()(taaatnnntaat1证明taaat11推论:(1))(||1)(taat)(||1)(00attatatδ(2t)=0.5δ(t))()1()()()(ttnnn(2)当a=–1时所以，δ(–t)=δ(t)为偶函数，δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数举例第15页■▲举例已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)o2tf(t)-24(4)o2tg(t)=f'(t)-2-1压缩，得g(2t)(2)o1tg(2t)-1-1返回第16页■▲4.复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti(i=1，2，…，n)ttftftftd)(d)]([)]}([{dd)]}([{dd)('1)]([tfttftfε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)f(t)t-4-22o1ε[f(t)]2-2toε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4第17页■▲)2(41)2(41)2(221)2(221)]2()2([21)]4([dd21]4[22ttttttttttt一般地，niiitttftf1)()('1)]([这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。)('1itf)21(41)21(41)14(2ttt注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)#返回第18页■▲冲激函数的性质总结（1）取样性)0(d)()(ftttf)()0()()(tfttf（2）奇偶性)()(tt（3）比例性taat1)(（4）微积分性质tttd)(d)()(d)(tt（5）冲激偶)()(tt0d)(tttttt)(d)()()0()()0()()(tftfttf)0(d)()(ftttf返回第19页■▲四.序列δ(k)和ε(k)这两个序列是普通序列。1.单位(样值)序列δ(k)0,00,1)(defkkko11-1kδ(k)•取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k))0()()(fkkfkf(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)•例?)(kk?)()5(kkk?)(iik•定义第20页■▲2.单位阶跃序列ε(k)定义0,00,1)(defkkko11-1kε(k)23…•ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)kiik)()(或0)()(jjkkε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…•定义返回