§163二元函数的连续性数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套课件

一、二元函数的连续性概念二、有界闭域上连续函数的性质无论是单元微积分还是多元微积分,其中所讨论的函数,最重要的一类就是连续函数.二元函数连续性的定义比一元函数更一般化了些;而它们的局部性质与在有界闭域上的整体性质,二者完全相同.§3二元函数的连续性数学分析第十六章多元函数的极限与连续*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定义11.连续性0,0,0(;)PUPD若只要,就有0|()()|,(1)fPfP则称f关于集合D在点连续.0P在不致误解的情形下,也称f在点连续.0P若f在D上任何点都关于集合D连续,则称f为D上的连续函数.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质二元函数的连续性概念2RD设f为定义在点集上的二元函数,0P.D后退前进目录退出数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社由上述定义知道:若是D的孤立点,则必定是0P0P00lim()().(2)PPPDfPfP0P若是D的聚点,则f关于集合D在点连续等价于0P如果是D的聚点,而(2)式不成立(其含义与一元0P函数的对应情形相同),则称是f的不连续点(或0P特别当(2)式左边极限存在,但不等于0()fP0P是f的可去间断点.时,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质f的连续点.称间断点).数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社222222,1(,)(0,0),(,)20,(,)(0,0),fxyxxyyxyxyxyfxyxyxy例如,上节例，上节例在原点均连续，而§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质222(,)310,(,)40xyfxyxyyxxfxy上节例，，,上节例，，其余部分.在原点均不连续.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社又若把上述例3的函数改为222,(,)(,)|,0,(,),(,)(0,0),1xyxyxyymxxxyfxymxym上，2(,)(0,0)lim(,)(0,0),1xyymxmfxyfm其中m为固定实数,亦即函数f只定义在ymx因此f在原点沿着直线是连续的．ymx§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质这时由于数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社2(cos,sin)(cos)frrr(,)(0,0)lim(,)0(0,0),xyfxyf因此此时f在原点连22,(,)(0,0),(,)(0)0,(,)(0,0),xxyfxyxyxy在坐标原点的连续性．例1讨论函数解由于当20r且时,(,)(0,0)2,lim(,)xyfxy时而当不存在，此时f在原点间断．§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质续;20,r数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社2.全增量与偏增量00000(,)(,),,,PxyPxyDxxxyyy、设0000(,)(,)(,)zfxyfxyfxy称0000(,)(,)fxxyyfxy量形式来描述连续性,为函数f在点的全增量.0P(,)(0,0)(,)lim0xyxyDz时,f在点连续.0P§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质和一元函数一样,可用增即当数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社00,xy或如果在全增量中取则相应得到的增量称为偏增量,000000(,)(,)(,),xfxyfxxyfxy000000(,)(,)(,).yfxyfxyyfxy一般说来,全增量并不等于相应的两个偏增量之和.若一个偏增量的极限为零,如000lim(,)0,xxfxy0yy0(,)fxy则表示当固定时,作为x的函数,它固定时，0(,)fxy在y0连续.0xx§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质分别记作则表示当000lim(,)0,yyfxy若同理,在x0连续.数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社容易证明:当f在其定义域的内点连续时,00(,)xy0(,)fxy0(,)fxy在x0与在y0都连续.由二元函数对单个自变量都连续，函数的连续性(除非另外增加条件).10,(,)00xyfxyxy，，在原点处显然不连续,因此它在原点处对x和对y分别都连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质但是反过来,例如二元函数一般不能保证该但由于f(0,y)=f(x,0)=0,数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社3.连续函数的局部性质以及相应的有理运算的各个法则.若二元函数在某一点连续,则与一元函数一样,可以证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性复合函数的连续性定理,其余留给读者自己去练习.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质下面只证明二元数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.7（复合函数连续性）000000(,),(,).uxyvxy则复合函数(,)((,),(,))gxyfxyxy在点P0也连续.0,0,使得当000(,)Quv的某邻域内有定义,并在点Q0连续,00|(,)(,)|.fuvfuv00||,||uuvv时,有§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数(,)uxy和(,)vxy000(,)Pxy在点的某邻域内有定义,并在点连续;0Pf(u,v)在点证由f在点Q0连续可知：其中数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社又由、在点P0连续可知:对上述0,0,使得当00||,||xxyy时,有000|||(,)(,)|,uuuvuv000|||(,)(,)|.vvuvuv0000|(,)(,)||(,)(,)|.gxygxyfuvfuv00||,||xxyy综合起来,当时,便有所以((,),(,))fxyxy在点连续.000(,)Pxy§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质00|(,)(,)|.fuvfuv00||,||uuvv时,有数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.8（复合函数连续性）本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质.这可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.上有界且能取得最大值与最小值.|()|,1,2,.(3)nfPnn倘若不然,则+N,n存,nPD使得在§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质有界闭域上连续函数的性质若二元函数f在有界闭域2RD上连续,证先证明f在D上有界.则f在D,数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社{}nPD{}nP于是得到一个有界点列,且能使中有无由聚点定理的推论,{}nP存在收敛{},knP子列0lim.knkPP设又因f在D上连续,当然在点也连续,0P0lim()().knkfPfP这与不等式(3)矛盾，所以f是D上的有界函数.下面证明f在D上能取到最大、小值.inf(),sup().mfDMfD§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质|()|,1,2,.(3)nfPnn穷多个不同的点.因D是闭域,从而0.PD为此设于是有QD()fQM可证必有一点,使(同理可证最小值)数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社,PD如若不然,对任意都有()0.MfP1(),()FPMfP由前面的证明知道,F在D上有界.上达到上确界M,使lim()nnfPM.在D上有界的结论相矛盾,到最大值.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质考察D上的正值连续函数又因f不能在D于是有lim(),nnFP这导致与F{},nPD所以存在收敛点列从而证得f在D上能取数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.9（一致连续性定理）证本定理可参照第七章的方法,运用有限覆盖定理来证明.这里我们用聚点定理证明.倘若f在D上连续而不一致连续,则存在某00,0,1,1,2,,nn对于任意小的例如nnPQD、(,)1nnPQn相应的,虽然,§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若函数f在有界闭域2RD上连续,0,即存在只依赖于0,的必有,,PQD的点(,)PQ切满足|()()|.fPfQ致连续.则f在D上一使得对一总有数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社由于D为有界闭域,因此存在收敛子列{}{},knnPP0lim.knkPPD并设{}nQ{}knP再在中取出与下标相同的子列{},knQ0(,)10,,kknnkPQnk有0limlimkknnkkQPP.lim|()()|kknnkfPfQ0|()()|0kknnfPfQ这与相矛盾,上一致连续.§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质0|()()|.nnfPfQ但是则因最后,由f在P0连续,得00|()()|0.fPfQ所以f在D数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社定理16.10（介值性定理）任意两点,且12()(),fPfP则对任何满足不等式12()()(4)fPfP证作辅助函数0,PD的实数,必存在点()(),.FPfPPD易见F仍在D上连续,且由(4)式知道1()0,FP0PD0()0.FP下面证明必存在,使§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质设函数f在区域2RD上连续,若P1,P2为D中2()0.FP0().fP使得数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社1P2PDxyO图16-18由于D为区域,我们可以用有限段都在D中的折线连结P1和P2(如图16-18).的函数值为0,则定理得证.否则从一端开始逐段检查,在它两端的函数值异号.必定存在某直线段,使得F§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质若有某一个连接点所对应数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社不失一般性,设连结P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线段含于D,121121(),01.(),xxtxxtyytyy在此直线段上,F变为关于t的复合函数：121121()((),()),01.GtFxtxxytyyt由于G为[0,1]上的一元连续函数,且12()(0)0(1)(),FPGGFP§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质其方程为数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社因此由一元函数根的存在定理,在(0,1)内存在一点0,t0()0.Gt使得记0102101021(),(),xxtxxyytyy则有000(,)PxyD,使得000()()0,().FPGtfP即续函数,则f(D)必定是一个区间(有限或无限).注1由定理16.10又可知道,若f为区域D上的连§3二元函数的连续性二元函数的连续性概念有界闭域上连续函数的性质数学分析第十六章多元函数的极限与连续高等教育出版社有连通性的.界闭集(证明过程无原则性变化).中所考察的点集D只能假设是一区域,这是为了保证它具有连通性,注2定理16.8与16