§202第二型曲线积分

§20.2第二型曲线积分20.2.1第二型曲线积分的定义20.2.2第二型曲线积分的计算20.2.3两类曲线积分之间的联系20.2.1第二型曲线积分的定义oxyABL1nMiM1iM2M1Mixiy常力所作的功分割011,,,,.nnAMMMMB1(,).iiiiMMxy.ABFW设质点受变力(,)(,),(,)FxyPxyQxy作用沿平面曲线L运动,求质点从点A到点B移动时,变力F所作的功W:(,),iiiMxy其中1,2,,in1.变力作功问题求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值(,)(,)(,),iiiiiiFPiQj1(,),iiiiiWFMM.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiWW1oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy近似1(,),iiiiMM取2.第二型曲线积分的定义定义1设函数(,)Pxy与(,)Qxy定义在平面有向可求长度曲线L：AB上,对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段1(1,2,,)iiMMin,其中0MA,nMB,记为小曲线段1iiMM的弧长为is,分割T的细度1maxiinTs,又设T的分点iM的坐标为(,)iixy,并记11,(1,2,,)iiiiiixxxyyyin,在每个小曲线段1iiMM上任取一点(,)ii,若极限0011lim(,)lim(,)nniiiiiiTTiiPxQy存在且与分割T与点(,)ii的取法无关,oxyABL1nMiM1iM2M1Mixiy则称此极限为函数(,)Pxy,(,)Qxy沿有向曲线L上的第二型曲线积分,记为(,)(,)LPxydxQxydy或(,)(,)ABPxydxQxydy(1)上述积分也可写作(,)(,)LLPxydxQxydy也称为,对坐标的曲线积分(,),(,),PxyQxy其中叫做被积函数.L叫积分弧段PdxQdy(,)(,)PxydxQxydyx对坐标的曲线积分(,)LPxydx01lim(,)niiiTiPxy对坐标的曲线积分01lim(,)niiiTiQy(,)LQxydyL若L为封闭的有向曲线,则记为LPdxQdy(2)若记(,)(,),(,),(,)FxyPxyQxydsdxdy,则(1)式可写成向量形式LFds或ABFds(3)PdxQdyFds推广若L为空间有向可求长度曲线,(,,)Pxyz,(,,),(,,)QxyzRxyz为定义在L上的函数,类似地，定义(,,)fxyz在空间曲线L上的第二型曲线积分为(,,)(,,)(,,)LPxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)(,,)(,,)LLLPxyzdxQxyzdyRxyzdz(,,)LPxyzdx(,,)LQxyzdy(,,)LRxyzdz01lim(,,)niiiiTiPx0lim(,,)iiiiTQy0lim(,,)iiiiTRz1nM2M1MABLiM1iMxyzoizixiyiM1iM(,,)iii(,,)iii变力(,)(,),(,)FxyPxyQxy沿平面曲线L从点A到点B所作的功为ABWPdxQdy.空间力场(,,)(,,),(,,),(,,)FxyzPxyzQxyzRxyz沿空间曲线AB所作的功为：ABWPdxQdyRdz对第二型曲线积分，有ABBA二型曲线积分的鲜明特征:曲线的方向性(,)ABPxydx01lim(,)niiiTiPx???(,)BAPxydx(,)(,),iinini1,2,,ininixx(,)BAPxydx01lim(,)niiiTiPx第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,y)与弧长的乘积,它与曲线L的方向无关.3.第二型曲线积分的性质(1)若(1,2,,)iiLPdxQdyik存在,则11kkiiiiiiLcPdxcQdy也存在,且111kkkiiiiiiiLiiiLcPdxcQdycPdxQdy其中(1,2,,)icik为常数.线性性(2)若有向曲线L是由有向曲线12,,,kLLL首尾相接而成,且(1,2,,)iLPdxQdyik存在,则LPdxQdy也存在,且0ikLLiPdxQdyPdxQdy可加性20.2.2第二型曲线积分的计算tLABxyotM(,),(,),PxyQxyL设在曲线理弧上连续定(),(),xtLyt的参数方程为,t当参数单调地由变到时,LALB从的起点沿运动到终点(),()tt在以及为端点的,闭区间上具有一阶连续导数22()()0,tt且则(,)(),()Mxytt点(,)LPxydx存在[(),()]()Ptttdt仿定理20.1证(,)[(),()]()LQxydyQtttdt存在(,)(,)LPxydxQxydy{[(),()]()[(),()]()}PtttQtttdt存在同理可证终点B参数值起点A参数值特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则():(),.(),xtyttzt空间曲线起点终点推广则PdxQdyRdz[(),(),()]()Pttttdt[(),(),()]()Qttttdt[(),(),()]()RttttdtABLxyzot例1判断下列结论是否正确:(1).设L是平行于y轴的一直线段,则(,)0Lfxydx;(2).设L是平行于y轴的一直线段,则(,)0Lfxydy;(3).设L是右半圆周221(0)xyx,沿(0,1)至(0,1)方向,则1222LLxydxxydx,其中1L是L在第一象限的部分.(4).设L是上半圆周221(0)xyy,沿(1,0)至(1,0)方向,则1222LLxydxxydx,其中1L是L在第一象限的部分√××√000(1).(,)lim(,)0inxiiiLTifxydxfx0100(2).(,)lim(,)0iynfiiiLTifxydyfyL如弧长12220(3).lim()()0iiiiiiLTLLxydxxx下11222200(4).lim()2limiiiiiiiiiLTTLLLxydxxxx下例2计算积分()Lxydxyxdy,设A(1,1),B(2,3),路径L为i)直线段ABii)抛物线ACB:22(1)1yx;iii)(1,1)(2,1)AD(2,3)B(1,1)A折线闭合路径.oxy123123(1,1)A(2,1)D(2,3)BCP.205例1oxy123123(1,1)A(2,3)B:().:iAB的方程为解1,01.12xttyt从到()ABxydxyxdy10(1)(12)12tttdt120(152)ttdt256C2().:2(1)1,iiACByx抛物线的方程为12,x从到()ACBxydxyxdy22212(1)112(1)14(1)xxxxxdx232110323512xxxdx103oxy123123(1,1)A(2,1)D(2,3)B().,,,iiiLADDBBA是由有向线段围成的封闭曲线,.LADDBBA由线积分的可加性:1,12,ADyx而的方程从到()ADxydxyxdyADxydx21xdx3;2:2,23,DBxy的方程从到()ADxydxyxdy()ADyxdy31(2)ydy0;()BAxydxyxdy256AB()Lxydxyxdy83例3计算积分Lxdyydx,这里L:i)沿抛物线22yx从点O(0,0)到点B(1,2);ii)沿直线2yx从点O(0,0)到点B(1,2);iii)沿折线闭合路径(0,0)(1,0)(1,2)(0,0)OABO.ox12y12(1,0)A(1,2)B:().:iL解的方程为22,01.yxx从到Lxdyydx120(4)21xxxdx2P.206例2().:iiL的方程为2,01.yxx从到Lxdyydx10221xxdx2ox12y12(1,0)A(1,2)B().,,,iiiLoAABBo是由有向线段围成的封闭曲线,.LoAABBo由线积分的可加性:0,01,oAyx而的方程从到oAxdyydx100dx0;:1,02,ABxy的方程从到ABxdyydxABxdy201dy2;Boxdyydx2oBLxdyydx0.oAABBo2oBoB抛直oxyz例4计算:2()LIxydxxydyxdz其中L是螺旋线cos,sin,xatyatzbt,从0t到t的一段.(,0,0)a(,0,)ab::L解的方程cossin,xatyatzbt0,t从到2()LIxydxxydyxdz32222220cossincossincoscosattatattdtabtdt21(1)2abP.207例3oxyz例5求在力场(,,)Fyxxyz作用下,i)质点由点A(,0,0)a沿螺旋线1L到点B(,0,2)ab所作的功,其中1:cos,sin,,(02)Lxatyatzbtt.ii)质点由点A(,0,0)a沿直线2L到点B(,0,2)ab所作的功.(,0,0)Aa(,0,2)Bab(,0,)Dab::LF在曲线上力场所作功为解LWFds.LydxxdyxyzdzP.207例4oxyz(,0,0)Aa(,0,2)Bab(,0,)Dab.LWydxxdyxyzdz1().:cos,sin,,iLxatyatzbt在曲线(02):tF从到上力场所作功为Wdxsinatdtdycosatdtdzbdt2222220sincoscossinatatabtabtbtdt222()ba2():,0,,iiLxayzt在曲线(02):tbF从到上力场所作功为W0dt0dtdt20batdt2().bab2222xyza0xyz例6设L为球面和平面的交线,若面对x轴正向看去,L是沿逆时针方向的,求ddd;Lxxyyzz(i)ddd.Lzxxyyz(ii)co