§23运动方程的解法

§2.3运动方程的解法道出几点系统的运动方程，始进行系统分析的第一步，接着是要确定系统在特定激励下的响应和运行性能，为此就要杰出系统的运动方程。从数学上看。机电系统的运动方程一般不外乎以下三类：（1）常系数线性微分方程（2）变系数线性微分方程（3）非线性微分方程这三类方程，各有其适用的求解方法。下面分别予以介绍。（一）线性系统的解法解析法若系统的运动方程是常系数线性微分方程，则不论外加激励是什莫函数形式，总可以用解析法求出其响应，从而确定系统的运动特性。常系数线性微分方程，既可以用古典法求解，也可以用拉式变换法求解。用古典法求解时，先求出奇次方程的通解，然后求出给定驱动函数时的特解，最后初始条件确定解中的任意常数。拉式变换的特点是：把时域变为复频域，线形微分方程变成代数方程，求出代数方程的解，并用逆变换求出时域解。方法简单。拉式变换的基本定理scFtcfL][c是常数sFsFtftfL2121上一节0fssFdttdfL常用拉式变换stL111tL22sinstL22cossstLaseLat1例9-4用拉式变换求解下列微分方程100idtdi已知00i。解对方程两边进行拉式变换ssIssI100故11001001100sssssI取拉式反变换，即得sI为teti1100传递函数简单机电系统常有一个输入端口和一个输出端口，如图9-4设输入量的拉式变换为sX，输出量的拉式变换为sY则输出与输入的拉式变之比成为系统的传函。用sG表示。即sXsYsG，式中初始条件为零。时域传递函数令dtdp，dtp1，并以微分方程导出系统的输出与输入之比，则可以得到时域传递函数pg（用于模拟计算机求解）例2如下图道出电路传函根据基式电压定律和电容性质有iCpRiLpitu11iCptu12故时域的传递函数11212RCpLCptutupg若取tu1和tu2的拉式变换，令初始条件为零，则sICsRLssU11sICssU12故频域传函为11221RCsLCssUsUsGpg和sG形式相同，含义不同。pg为微分算子dtdp的函数，是时域函数，而sG是s的函数，是频域的传函，需要反变换来求时域解。框图框图是方程的图示描述。等效变换的规则：求和点不能与分离点交叉换位，求和点与求和点可以互换，分离点与分离点可以互换例3求例2的方框图机电等效电路用等效的纯电路代表一个机电系统。根据微分方程的类比关系，可以用相应的电路元件来表示，这种电路就称为机电等效电路。例3下图表示一个包含有弹簧，质量，和阻尼的机械系统，弱作用在质量M上的外力为f，弹簧弹性系数为k，阻力系数为vR，求该系统的机电等效电路。运动方程为fxkdtdxRdtxdMv122再看下图的运动方程为uqCdtdqRdtqdL122对比系数可得机电等效关系uf，qx，RRv，LM，Ck11，即该电路为机电等效电路。频率特性线性系统频率特性指系统的输入端口加以随时间正弦变化的驱动力时，该系统在稳定状态时的频率响应，即不同频率下的输出与输入之比。把传函中的s变为j即得到频率特性。仍以例2为例其频率特性为0202222111111jRCjLCjRCjLCjG式中LC10是系统的自然频率，LCR2是系统的阻尼比可画出其幅频特性和相频特性。对于变系数线性微分方程可以通过坐标变换化为常系数线性微分方程。非线性系统的解法可用数字计算机或模拟计算机求解，也可以将微增运动线性化。下面讲微增运动线性化以下图为例图示为单边激励的电磁铁系统，该电磁铁电源为u，线圈电阻为R，自感为xL，作用在轭铁上的电磁力为mf轭铁质量为M，弹簧弹性系数为K，弹簧的初始条件0x，轭铁运动是机械阻尼为vR，该电磁铁运动方程为dtdxdtdxRdtdixLiRuv0221xxKdtdxRdtxdMfvmdxdLifm221上式-----------------------A式，为非线性方程组。现设电磁铁围绕某一平衡点O作为小的增量变化10uUu，10iIi，10xXx式中0U，0I，0X为平衡点的外加直流电压，直流电流，和位移。1u，1i，1x为微增变量。在平衡点O处有00RIU020002110XxdxdLIxXK上式----------------------------------------B式把A式与B式对应相减并考虑到微增运动时1u，1i，1x很小时，忽略其平方项得100xdxdLXLxLXx12200xdxLddxdLdxdLXxXx102022iIIi再忽略1i，1x，dtdix11等微小的项目，可得dtdxdxdLIdtdiLiRuXx101010xSidxdLIxKdtdxRdtxdMXxv01011212010上式--------------------------------C式，式中02220021XxdxLdIS；00XLL为平衡点的电感。再用000XxdxdLIK和0'1SKK带入C式，则得到dtdxKdtdiLRiu10101111'121210xKdtdxRdtxdMiKv上式----------------------------------D式就是围绕平衡点O作微增运动时，电磁铁的运动方程。不难看出，由于忽略了为增量的平方项和乘积项，所以D式是线性微分方程组。D式中dtdxK10是微增运动所引起的运动电动势，用1mu表示则dtdxKum101上式----------------------------------E，则D式第一式为110111mudtdiLRiu由E式可知dtuKxm1011，1011muKdtdx，dtduKdtxdm102121带入D式第二式，可得dtuLuRdtduCdtuKKuKRdtduKMimeqmeqmeqmmvm111120'120120111式中20KMCeq；veqRKR20；'20KKLeq根据上式可画出机电等效电路状态方程法用于线性或在运行点线性化的运动方程，以矩阵形式表示BvAyy，该方程称为机电系统的状态方程。两边进行拉式变换sBVsAYyssY0，0y是由y的初始值所构成的列向量，y是状态变量。则sBVsyssBVAsIyAsIsY0101式中s称为状态转移矩阵，1AsIs，则通过逆变换求出y。例已知机电系统运动方程为ti52，式中为角位移，i为外加电源。设系统初始条件为零，ti为单位阶跃函数，用状态方程法求解。解设1y，12yy，则上述方程为21yyiyyy21225于是ssssAsIs5125212100y,ssV1故105125212ssssssBVssY=ssss15212故52121ssssY52122sssY所以ttesYLtyt2sin2cos210151111同理可以求出ty2。下一节